ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 34.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Дана случайная величина \(x\):
\(
n = 30, \quad p = 90\% = 0{,}9;
\)
\(
M(x) = pn = 30 \cdot 0{,}9 = 27;
\)
\(
D(x) = pqn = 27 \cdot 0{,}1 = 2{,}7;
\)

1) Забросит не менее 25 раз:
\(
P(|x — \mu| \leq \delta) \geq 1 — \frac{D}{\delta^2};
\)
\(
P(|x — 27| \leq 3) \geq 1 — \frac{2{,}7}{3^2};
\)
\(
P(-3 \leq x — 27 \leq 3) \geq 1 — \frac{2{,}7}{9};
\)
\(
P(24 \leq x \leq 30) \geq 0{,}7;
\)

Что и требовалось доказать.

2) Забросит не менее 25 раз:
\(
P = P(x=25) + P(x=26) + P(x=27) + P(x=28) + P(x=29) +
\)
\(
+ P(x=30) =
\)
\(
= C_{30}^{25} p^{25} q^{5} + C_{30}^{26} p^{26} q^{4} + C_{30}^{27} p^{27} q^{3} + C_{30}^{28} p^{28} q^{2} + C_{30}^{29} p^{29} q^{1} + C_{30}^{30} p^{30} q^{0} =
\)
\(
= \frac{30! \cdot 0{,}9^{25} \cdot 0{,}1^{5}}{5! \cdot 25!} + \frac{30! \cdot 0{,}9^{26} \cdot 0{,}1^{4}}{4! \cdot 26!} + \frac{30! \cdot 0{,}9^{27} \cdot 0{,}1^{3}}{3! \cdot 27!} + \frac{30! \cdot 0{,}9^{28} \cdot 0{,}1^{2}}{2! \cdot 28!} +
\)
\(
+ \frac{30! \cdot 0{,}9^{29} \cdot 0{,}1^{1}}{1! \cdot 29!} + \frac{30! \cdot 0{,}9^{30} \cdot 0{,}1^{0}}{0! \cdot 30!} \approx
\)
\(
0{,}1023 + 0{,}1771 + 0{,}2361 + 0{,}2276 + 0{,}1413 + 0{,}0423 \approx 0{,}9267 \approx 93\%;
\)

Ответ: \(\approx 93\%\).

Дана случайная величина \( x \):
\(
n = 30, \quad p = 90\% = 0{,}9;
\)
Математическое ожидание \( M(x) \) вычисляется по формуле:
\(
M(x) = pn = 30 \cdot 0{,}9 = 27;
\)
Дисперсия \( D(x) \) определяется как:
\(
D(x) = pqn = 27 \cdot 0{,}1 = 2{,}7;
\)

1) Забросит не менее 25 раз:
Для этого воспользуемся неравенством Чебышёва:
\(
P(|x — \mu| \leq \delta) \geq 1 — \frac{D}{\delta^2};
\)
Зададим \( \delta = 3 \), тогда:
\(
P(|x — 27| \leq 3) \geq 1 — \frac{2{,}7}{3^2};
\)
Упрощая, получаем:
\(
P(-3 \leq x — 27 \leq 3) \geq 1 — \frac{2{,}7}{9};
\)
Подсчитаем:
\(
P(24 \leq x \leq 30) \geq 0{,}7;
\)

Что и требовалось доказать.

2) Забросит не менее 25 раз:
Вероятность того, что случайная величина \( x \) примет значения от 25 до 30, вычисляется как сумма вероятностей:
\(
P = P(x=25) + P(x=26) + P(x=27) + P(x=28) + P(x=29)
\)
\(
+ P(x=30) =
\)
Используя биномиальное распределение, мы можем записать:
\(
= C_{30}^{25} p^{25} q^{5} + C_{30}^{26} p^{26} q^{4} + C_{30}^{27} p^{27} q^{3} + C_{30}^{28} p^{28} q^{2} + C_{30}^{29} p^{29} q^{1} + C_{30}^{30} p^{30} q^{0} =
\)
Где \( C_{n}^{k} \) — это биномиальный коэффициент. Подставляя значения, получаем:
\(
= \frac{30! \cdot 0{,}9^{25} \cdot 0{,}1^{5}}{5! \cdot 25!} + \frac{30! \cdot 0{,}9^{26} \cdot 0{,}1^{4}}{4! \cdot 26!} + \frac{30! \cdot 0{,}9^{27} \cdot 0{,}1^{3}}{3! \cdot 27!} +
\)
\(
+ \frac{30! \cdot 0{,}9^{28} \cdot 0{,}1^{2}}{2! \cdot 28!} + \frac{30! \cdot 0{,}9^{29} \cdot 0{,}1^{1}}{1! \cdot 29!} + \frac{30! \cdot 0{,}9^{30} \cdot 0{,}1^{0}}{0! \cdot 30!}
\)
Подставляя численные значения и производя расчёты, получаем:
\(
\approx 0{,}1023 + 0{,}1771 + 0{,}2361 + 0{,}2276 + 0{,}1413 + 0{,}0423 \approx 0{,}9267 \approx 93\%;
\)

Ответ: \( \approx 93\% \).