ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 34.5 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что если монету подбросить \( 2500 \) раз, то с вероятностью, не меньшей \( 99\% \), частота выпадения герба отличается от \( \frac{1}{2} \) не больше, чем на \( 0{,}1 \).

Дана случайная величина \( x \):
\(
n = 2500, \quad p = \frac{1}{2} = 0{,}5;
\)
\(
M(x_n) = p = 0{,}5;
\)
\(
D(x_n) = \frac{pq}{n} = \frac{0{,}5 \cdot 0{,}5}{2500} = 0{,}0001;
\)

Частота выпадения герба:
\(
P\left(|x_n — \mu| \leq \delta \right) \geq 1 — \frac{D}{\delta^2};
\)
\(
P\left(\left|\frac{x}{2500} — \frac{1}{2}\right| \leq 0{,}1 \right) \geq 1 — \frac{0{,}0001}{0{,}1^2};
\)
\(
P\left(\left|\frac{x}{2500} — \frac{1}{2}\right| \leq 0{,}1 \right) \geq 0{,}99;
\)

Что и требовалось доказать.

Дана случайная величина \( x \):
\(
n = 2500, \quad p = \frac{1}{2} = 0{,}5;
\)
Для данной случайной величины мы можем вычислить математическое ожидание:
\(
M(x_n) = p = 0{,}5;
\)
Дисперсия \( D(x_n) \) определяется по формуле:
\(
D(x_n) = \frac{pq}{n} = \frac{0{,}5 \cdot 0{,}5}{2500} = 0{,}0001;
\)

Теперь рассмотрим частоту выпадения герба. Мы можем применить неравенство Чебышёва, которое гласит:
\(
P\left(|x_n — \mu| \leq \delta \right) \geq 1 — \frac{D}{\delta^2};
\)
Зададим \( \delta = 0{,}1 \). Подставляем значения в неравенство:
\(
P\left(\left|\frac{x}{2500} — \frac{1}{2}\right| \leq 0{,}1 \right) \geq 1 — \frac{0{,}0001}{0{,}1^2};
\)
Упрощаем дробь в правой части:
\(
P\left(\left|\frac{x}{2500} — \frac{1}{2}\right| \leq 0{,}1 \right) \geq 1 — 0{,}01;
\)
Таким образом, получаем:
\(
P\left(\left|\frac{x}{2500} — \frac{1}{2}\right| \leq 0{,}1 \right) \geq 0{,}99;
\)

Что и требовалось доказать.