ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 34.6 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

(Неравенство Маркова.) Пусть случайная величина \( x \) имеет математическое ожидание \( \mu \) и принимает только неотрицательные значения. Докажите, что для любого положительного числа \( o \) выполняется неравенство

\(
P(x > o) \leq \frac{\mu}{o}.
\)

Дана случайная величина \( x \): \( x \geq 0 \), \( M(x) = \mu \);

1) Математическое ожидание:
\(
M(x) = x_1 p_1 + \cdots + x_i p_i + x_{i+1} p_{i+1} + \cdots + x_n p_n = \mu;
\)

2) Пусть \( x_1 < x_2 < \cdots < x_n \) и \( x_i < \delta \leq x_{i+1} \), тогда:
\(
x_{i+1} p_{i+1} + x_{i+2} p_{i+2} + \cdots + x_n p_n \leq \mu;
\)
\(
\delta (p_{i+1} + p_{i+2} + \cdots + p_n) \leq \mu;
\)
\(
P(x_{i+1}) + P(x_{i+2}) + \cdots + P(x_n) \leq \frac{\mu}{\delta};
\)
\(
P(x \geq \delta) \leq \frac{\mu}{\delta};
\)

Что и требовалось доказать.

Дана случайная величина \( x \): \( x \geq 0 \), \( M(x) = \mu \);

1) Математическое ожидание:
Математическое ожидание случайной величины \( x \) можно выразить как сумму произведений значений \( x_i \) на соответствующие вероятности \( p_i \):

\(
M(x) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_i p_i + x_{i+1} p_{i+1} + \cdots + x_n p_n = \mu;
\)

2) Пусть \( x_1 < x_2 < \cdots < x_n \) и \( x_i < \delta \leq x_{i+1} \). В этом случае мы можем выразить часть математического ожидания, относящуюся к значениям, которые больше или равны \( \delta \):

\(
x_{i+1} p_{i+1} + x_{i+2} p_{i+2} + \cdots + x_n p_n \leq \mu;
\)

Это неравенство говорит о том, что сумма произведений значений, которые больше или равны \( \delta \), не может превышать математическое ожидание.

Далее, мы можем умножить обе стороны неравенства на \( \delta \):

\(
\delta (p_{i+1} + p_{i+2} + \cdots + p_n) \leq \mu;
\)

Теперь, используя определение вероятности, мы можем выразить сумму вероятностей:

\(
P(x_{i+1}) + P(x_{i+2}) + \cdots + P(x_n) \leq \frac{\mu}{\delta};
\)

Это означает, что сумма вероятностей значений, которые больше или равны \( \delta \), не может превышать \( \frac{\mu}{\delta} \).

В заключение, мы можем записать окончательное неравенство:

\(
P(x \geq \delta) \leq \frac{\mu}{\delta};
\)

Что и требовалось доказать.