ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 34.8 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Сумма денежных средств на счетах клиентов в некотором банке составляет 500 млн р. Вероятность того, что сумма денежных средств на случайно выбранном счёте меньше 50 тыс. р., составляет 80 %. Докажите, что в банке открыто не более 50 000 счетов.

Дана случайная величина \( x \):
\(
P(x < 50\,000) = 80\% = 0{,}8;
\)
\(
x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 500 \cdot 10^6;
\)

1) Математическое ожидание:
\(
P(x \geq 50\,000) \leq \frac{M(x)}{50\,000};
\)
\(
0{,}2 \leq \frac{M(x)}{50\,000} — M(x) \geq 10\,000;
\)

2) Количество счетов:
\(
n M(x) = 500 \cdot 10^6;
\)
\(
n \cdot 10\,000 \leq 500 \cdot 10^6;
\)
\(
n \leq 50\,000;
\)

Что и требовалось доказать.

Дана случайная величина \( x \):
Согласно условию, вероятность того, что \( x \) меньше 50,000, составляет 80%:

\(
P(x < 50\,000) = 80\% = 0{,}8;
\)

Также известно, что сумма всех значений случайной величины равна 500 миллионов:

\(
x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 500 \cdot 10^6;
\)

1) Математическое ожидание:
Согласно неравенству, вероятность того, что \( x \) больше или равна 50,000, может быть оценена через математическое ожидание:

\(
P(x \geq 50\,000) \leq \frac{M(x)}{50\,000};
\)

Мы знаем, что \( P(x \geq 50\,000) = 1 — P(x < 50\,000) = 1 — 0{,}8 = 0{,}2 \). Подставляем это значение в неравенство:

\(
0{,}2 \leq \frac{M(x)}{50\,000} — M(x) \geq 10\,000;
\)

Таким образом, математическое ожидание \( M(x) \) должно быть не менее 10,000.

2) Количество счетов:
Теперь мы можем использовать информацию о математическом ожидании для определения количества счетов \( n \):

\(
n M(x) = 500 \cdot 10^6;
\)

Подставляя найденное значение математического ожидания:

\(
n \cdot 10\,000 \leq 500 \cdot 10^6;
\)

Разделим обе стороны на 10,000:

\(
n \leq 50\,000;
\)

Таким образом, количество счетов не может превышать 50,000.

Что и требовалось доказать.