ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 34.9 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

(Закон больших чисел.) Пусть \( x_1, x_2, \ldots, x_n \) — независимые одинаково распределённые случайные величины, имеющие математическое ожидание \( \mu \) и дисперсию \( D \). Случайная величина \( y \) — среднее арифметическое случайных величин \( x_1, x_2, \ldots, x_n \), т. е.

\(
y = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}.
\)

Тогда для любого положительного числа \( o \) вероятность того, что выполняется двойное неравенство

\(
\mu — o < y < \mu + o,
\)

неограниченно приближается к 1 с ростом числа \( n \). Докажите это утверждение.

Даны независимые одинаково распределённые величины \( x \):
\(
M(x) = \mu, \quad D(x) = D;
\)
\(
y = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n};
\)

1) Математическое ожидание:
\(
M(y) = \frac{M(x_1) + M(x_2) + \cdots + M(x_n)}{n};
\)
\(
M(y) = \frac{\mu + \mu + \cdots + \mu}{n} = \frac{n \mu}{n} = \mu;
\)

2) Дисперсия значений:
\(
D(y) = \frac{D(x_1) + D(x_2) + \cdots + D(x_n)}{n^2};
\)
\(
D(y) = \frac{D + D + \cdots + D}{n^2} = \frac{n D}{n^2} = \frac{D}{n};
\)

3) Неравенство Чебышёва:
\(
P(|y — M(y)| \leq \delta) \geq 1 — \frac{D(y)}{\delta^2};
\)
\(
P(-\delta \leq y — \mu \leq \delta) \geq 1 — \frac{D}{n \delta^2};
\)
\(
P(\mu — \delta \leq y \leq \mu + \delta) \geq 1 — \frac{D}{n \delta^2};
\)

4) Если \( n \to +\infty \), тогда:
\(
P\left(\mu — \delta \leq y \leq \mu + \delta\right) \to 1;
\)

Что и требовалось доказать.

Даны независимые одинаково распределённые величины \( x \):
Согласно условию, математическое ожидание и дисперсия этих величин равны:

\(
M(x) = \mu, \quad D(x) = D;
\)

Определим среднее арифметическое этих величин как:

\(
y = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n};
\)

1) Математическое ожидание:
Математическое ожидание среднего арифметического можно выразить как:

\(
M(y) = \frac{M(x_1) + M(x_2) + \cdots + M(x_n)}{n};
\)

Так как все \( x_i \) имеют одинаковое математическое ожидание \( \mu \), то:

\(
M(y) = \frac{\mu + \mu + \cdots + \mu}{n} = \frac{n \mu}{n} = \mu;
\)

Таким образом, математическое ожидание \( y \) равно \( \mu \).

2) Дисперсия значений:
Дисперсия среднего арифметического определяется следующим образом:

\(
D(y) = \frac{D(x_1) + D(x_2) + \cdots + D(x_n)}{n^2};
\)

Поскольку все дисперсии равны \( D \), имеем:

\(
D(y) = \frac{D + D + \cdots + D}{n^2} = \frac{n D}{n^2} = \frac{D}{n};
\)

Таким образом, дисперсия среднего арифметического \( y \) уменьшается с увеличением \( n \).

3) Неравенство Чебышёва:
Согласно неравенству Чебышёва, вероятность того, что отклонение среднего арифметического от его математического ожидания не превышает некоторого значения \( \delta \), можно оценить так:

\(
P(|y — M(y)| \leq \delta) \geq 1 — \frac{D(y)}{\delta^2};
\)

Подставляя найденное значение дисперсии \( D(y) \):

\(
P(-\delta \leq y — \mu \leq \delta) \geq 1 — \frac{D}{n \delta^2};
\)

Это можно записать в виде:

\(
P(\mu — \delta \leq y \leq \mu + \delta) \geq 1 — \frac{D}{n \delta^2};
\)

4) Если \( n \to +\infty \), тогда:
При увеличении числа \( n \) правая часть неравенства стремится к 0, что означает:

\(
P\left(\mu — \delta \leq y \leq \mu + \delta\right) \to 1;
\)

Таким образом, вероятность того, что среднее арифметическое \( y \) будет находиться в интервале \( (\mu — \delta, \mu + \delta) \), стремится к 1 по мере увеличения \( n \).

Что и требовалось доказать.