ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 35.1 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите свойства ковариации 1-5, приведённые в конце этого параграфа.

Доказать свойства ковариации:

\(
\text{cov}(x,y) = M\big((x — M(x))(y — M(y))\big) = M(xy — xM(y) — yM(x) +
\)
\(
+ M(x)M(y)) = M(xy) — M(x)M(y) — M(y)M(x) + M(x)M(y) =
\)
\(
= M(xy) — M(x)M(y);
\)

1) \(\text{cov}(x,x) \geq 0;\)
\(
M(x \cdot x) — M(x) \cdot M(x) \geq 0;
\)
\(
M(x^2) — (M(x))^2 \geq 0;
\)
\(
D(x) \geq 0;
\)
Что и требовалось доказать.

2) \(\text{cov}(x,y) = \text{cov}(y,x);\)
\(
M(xy) — M(x)M(y) = M(yx) — M(y)M(x);
\)
Что и требовалось доказать.

3) \(\text{cov}(\lambda x, y) = \lambda \text{cov}(x,y);\)
\(
M(\lambda x \cdot y) — M(\lambda x) \cdot M(y) = \lambda (M(xy) — M(x)M(y));
\)
\(
\lambda M(xy) — \lambda M(x)M(y) = \lambda M(xy) — \lambda M(x)M(y);
\)
Что и требовалось доказать.

4)
\(
\text{cov}(x + y, z) = M(z(x + y)) — M(x + y) M(z) = M(zx) + M(zy) —
\)
\(
— M(x) M(z) — M(y) M(z) = \text{cov}(x, z) + \text{cov}(y, z);
\)
Что и требовалось доказать.

5)
\(
\text{cov}^2(x, y) \leq D(x) D(y);
\)

Пусть \( z = a x + y \), тогда:

\(
D(z) = D(a x + y) = M\big((a x + y) — M(a x + y)\big)^2 = M \big(a (x — M(x)) +
\)
\(
+ (y — M(y))\big)^2 =
\)
\(
= M \left(a^2 (x — M(x))^2 + 2 a (x — M(x))(y — M(y)) + (y — M(y))^2 \right) =
\)
\(
= a^2 D(x) + 2 a \text{cov}(x, y) + D(y) \geq 0;
\)

Выполняется условие:
\(
D(z) = a^2 D(x) + 2 a \text{cov}(x, y) + D(y) \geq 0;
\)

Рассмотрим дискриминант:
\(
(2 \text{cov}(x, y))^2 — 4 D(x) D(y) \leq 0;
\)
\(
4 \text{cov}^2(x, y) — 4 D(x) D(y) \leq 0;
\)
\(
\text{cov}^2(x, y) \leq D(x) D(y);
\)

Что и требовалось доказать.

Доказать свойства ковариации:

\(
\text{cov}(x,y) = M\big((x — M(x))(y — M(y))\big) = M(xy — xM(y) — yM(x) +
\)
\(
+ M(x)M(y)) = M(xy) — M(x)M(y) — M(y)M(x) + M(x)M(y) =
\)
\(
= M(xy) — M(x)M(y);
\)

1) \(\text{cov}(x,x) \geq 0;\)
Для доказательства этого свойства рассмотрим ковариацию \( \text{cov}(x,x) \):

\(
\text{cov}(x,x) = M\big((x — M(x))(x — M(x))\big) = M((x — M(x))^2);
\)

Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, имеем:

\(
M((x — M(x))^2) \geq 0;
\)

Таким образом, получаем:

\(
\text{cov}(x,x) \geq 0;
\)

Это эквивалентно утверждению о том, что дисперсия \( D(x) \geq 0 \), что и требовалось доказать.

2) \(\text{cov}(x,y) = \text{cov}(y,x);\)
Рассмотрим ковариацию \( \text{cov}(x,y) \):

\(
\text{cov}(x,y) = M(xy) — M(x)M(y);
\)

Теперь рассмотрим \( \text{cov}(y,x) \):

\(
\text{cov}(y,x) = M(yx) — M(y)M(x);
\)

Поскольку произведение \( xy \) и \( yx \) одинаково, имеем:

\(
M(xy) = M(yx);
\)

Таким образом:

\(
\text{cov}(x,y) = M(xy) — M(x)M(y) = M(yx) — M(y)M(x) = \text{cov}(y,x);
\)

Что и требовалось доказать.

3) \(\text{cov}(\lambda x, y) = \lambda \text{cov}(x,y);\)
Рассмотрим ковариацию \( \text{cov}(\lambda x, y) \):

\(
\text{cov}(\lambda x, y) = M(\lambda x \cdot y) — M(\lambda x)M(y);
\)

Используем свойство математического ожидания:

\(
M(\lambda x \cdot y) = \lambda M(xy);
\)

Теперь найдем \( M(\lambda x) \):

\(
M(\lambda x) = \lambda M(x);
\)

Подставляем в выражение для ковариации:

\(
\text{cov}(\lambda x, y) = \lambda M(xy) — (\lambda M(x))M(y);
\)

Это можно упростить до:

\(
= \lambda M(xy) — \lambda M(x)M(y);
\)

Таким образом, получаем:

\(
\text{cov}(\lambda x, y) = \lambda (M(xy) — M(x)M(y)) = \lambda \text{cov}(x,y);
\)

Что и требовалось доказать.

4)
\(
\text{cov}(x + y, z) = M(z(x + y)) — M(x + y) M(z);
\)
Раскроем выражение \( M(z(x + y)) \):

\(
M(z(x + y)) = M(zx + zy) = M(zx) + M(zy);
\)

Теперь подставим это в уравнение:

\(
\text{cov}(x + y, z) = M(zx) + M(zy) — M(x + y)M(z);
\)

Далее, раскроем \( M(x + y) \):

\(
M(x + y) = M(x) + M(y);
\)

Теперь подставим это обратно:

\(
\text{cov}(x + y, z) = M(zx) + M(zy) — (M(x) + M(y))M(z);
\)

Раскроем скобки:

\(
\text{cov}(x + y, z) = M(zx) — M(x)M(z) + M(zy) — M(y)M(z);
\)

Таким образом, мы можем записать:

\(
\text{cov}(x + y, z) = \text{cov}(x, z) + \text{cov}(y, z);
\)

Что и требовалось доказать.

5)
\(
\text{cov}^2(x, y) \leq D(x) D(y);
\)

Для доказательства этого свойства пусть \( z = a x + y \). Тогда:

\(
D(z) = D(a x + y);
\)

Используем формулу для дисперсии суммы независимых случайных величин:

\(
D(z) = M\big((a x + y) — M(a x + y)\big)^2;
\)

Раскроем \( M(a x + y) \):

\(
= M \left(a (x — M(x)) + (y — M(y))\right)^2;
\)

Теперь раскроем квадрат:

\(
= M \left(a^2 (x — M(x))^2 + 2 a (x — M(x))(y — M(y)) + (y — M(y))^2 \right);
\)

Теперь запишем это как сумму дисперсий и ковариаций:

\(
= a^2 D(x) + 2 a \text{cov}(x, y) + D(y);
\)

Поскольку дисперсия не может быть отрицательной, имеем:

\(
a^2 D(x) + 2 a \text{cov}(x, y) + D(y) \geq 0;
\)

Это условие выполняется. Рассмотрим дискриминант для уравнения:

\(
(2 \text{cov}(x, y))^2 — 4 D(x) D(y) \leq 0;
\)

Раскроем скобки:

\(
4 \text{cov}^2(x, y) — 4 D(x) D(y) \leq 0;
\)

Итак, получаем:

\(
\text{cov}^2(x, y) \leq D(x) D(y);
\)

Что и требовалось доказать.