ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 35.2 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что:

1)
\(
\text{cov}(x, y) = M(xy) — M(x)M(y);
\)

2)
\(
D(x+y) = D(x) + D(y) + \text{cov}(x, y).
\)

1)
\(
\text{cov}(x,y) = M\big((x — M(x))(y — M(y))\big) = M(xy — xM(y) — yM(x) +
\)
\(
+ M(x)M(y)) = M(xy) — M(x)M(y) — M(y)M(x) + M(x)M(y) =
\)
\(
= M(xy) — M(x)M(y);
\)
Что и требовалось доказать.

2)
\(
D(x + y) = M\big((x + y) — M(x + y)\big)^2 = M\big((x — M(x)) + (y — M(y))\big)^2 =
\)
\(
= M\big((x — M(x))^2 + 2(x — M(x))(y — M(y)) + (y — M(y))^2\big) =
\)
\(
= D(x) + 2 \text{cov}(x,y) + D(y);
\)
Что и требовалось доказать.

Доказать равенства:

1)
Для начала рассмотрим ковариацию \( \text{cov}(x,y) \):

\(
\text{cov}(x,y) = M\big((x — M(x))(y — M(y))\big);
\)

Раскроем скобки внутри математического ожидания:

\(
= M(xy — xM(y) — yM(x) + M(x)M(y));
\)

Теперь применим линейность математического ожидания:

\(
= M(xy) — M(x)M(y) — M(y)M(x) + M(x)M(y);
\)

Объединим подобные слагаемые:

\(
= M(xy) — M(x)M(y);
\)

Таким образом, мы получили требуемое равенство:

\(
\text{cov}(x,y) = M(xy) — M(x)M(y);
\)

Что и требовалось доказать.

2)
Теперь докажем равенство для дисперсии суммы двух случайных величин \( D(x + y) \):

Начнем с определения дисперсии:

\(
D(x + y) = M\big((x + y) — M(x + y)\big)^2;
\)

Раскроем выражение \( (x + y) — M(x + y) \):

\(
= M\big((x — M(x)) + (y — M(y))\big)^2;
\)

Теперь применим формулу для квадрата суммы:

\(
= M\big((x — M(x))^2 + 2(x — M(x))(y — M(y)) + (y — M(y))^2\big);
\)

Используя свойства математического ожидания, мы можем разложить это выражение на три части:

\(
= M((x — M(x))^2) + 2M((x — M(x))(y — M(y))) + M((y — M(y))^2);
\)

Первое и третье слагаемое — это дисперсии \( D(x) \) и \( D(y) \):

\(
= D(x) + 2M((x — M(x))(y — M(y))) + D(y);
\)

Теперь подставим определение ковариации:

\(
= D(x) + 2 \text{cov}(x,y) + D(y);
\)

Таким образом, мы получили требуемое равенство:

\(
D(x + y) = D(x) + 2 \text{cov}(x,y) + D(y);
\)

Что и требовалось доказать.