ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 35.3 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Монету подбрасывают три раза. Пусть х — количество гербов, которые выпали на монетах, a y — количество гербов, которых выпали на монетах при первых двух подбрасываниях. Найдите ковариацию случайных величин х и у.

Монету подбрасывают три раза:
\(x\) — количество выпавших гербов;
\(y\) — гербов при первых двух бросках;

1) Для величины \(x\):
\(
M(x) = 3 \cdot C_3^3 \cdot \frac{1}{2^3} + 2 \cdot C_3^2 \cdot \frac{1}{2^3} + 1 \cdot C_3^1 \cdot \frac{1}{2^3} + 0 \cdot C_3^0 \cdot \frac{1}{2^3};
\)
\(
M(x) = \frac{3 \cdot 1}{2^3} + \frac{2 \cdot 3}{2^3} + \frac{1 \cdot 3}{2^3} + \frac{0 \cdot 1}{2^3} = \frac{3 + 6 + 3 + 0}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2};
\)

2) Для величины \(y\):
\(
M(y) = 2 \cdot C_2^2 \cdot \frac{1}{2^2} + 1 \cdot C_2^1 \cdot \frac{1}{2^2} + 0 \cdot C_2^0 \cdot \frac{1}{2^2};
\)
\(
M(y) = \frac{2 \cdot 1}{4} + \frac{1 \cdot 2}{4} + \frac{0 \cdot 1}{4} = \frac{2 + 2 + 0}{4} = \frac{4}{4} = 1;
\)

3) Для величины \(xy\):
\(
M(xy) = 6 \cdot C_3^3 \cdot \frac{1}{2^3} + 4 \cdot C_2^2 \cdot \frac{1}{2^3} + 2 \cdot C_1^1 \cdot \frac{1}{2^3} + 1 \cdot C_1^1 \cdot \frac{1}{2^3};
\)
\(
M(xy) = \frac{6 \cdot 1}{8} + \frac{4 \cdot 1}{8} + \frac{2 \cdot 2}{8} + \frac{1 \cdot 2}{8} = \frac{6 + 4 + 4 + 2}{8} = \frac{16}{8} = 2;
\)

4) Ковариация \(x\) и \(y\):
\(
\text{cov}(x,y) = M(xy) — M(x) \cdot M(y);
\)
\(
\text{cov}(x,y) = 2 — \frac{3}{2} \cdot 1 = 2 — 1.5 = 0.5;
\)

Ответ: 0,5.

Монету подбрасывают три раза:
\(x\) — количество выпавших гербов;
\(y\) — гербов при первых двух бросках;

1) Для величины \(x\):
Начнём с вычисления математического ожидания \(M(x)\):

\(
M(x) = 3 \cdot C_3^3 \cdot \frac{1}{2^3} + 2 \cdot C_3^2 \cdot \frac{1}{2^3} + 1 \cdot C_3^1 \cdot \frac{1}{2^3} + 0 \cdot C_3^0 \cdot \frac{1}{2^3};
\)

Теперь подставим значения коэффициентов:

\(
M(x) = \frac{3 \cdot 1}{2^3} + \frac{2 \cdot 3}{2^3} + \frac{1 \cdot 3}{2^3} + \frac{0 \cdot 1}{2^3} = \frac{3 + 6 + 3 + 0}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2};
\)

Таким образом, математическое ожидание \(M(x)\) равно \( \frac{3}{2} \).

2) Для величины \(y\):
Теперь вычислим математическое ожидание \(M(y)\):

\(
M(y) = 2 \cdot C_2^2 \cdot \frac{1}{2^2} + 1 \cdot C_2^1 \cdot \frac{1}{2^2} + 0 \cdot C_2^0 \cdot \frac{1}{2^2};
\)

Подставим значения коэффициентов:

\(
M(y) = \frac{2 \cdot 1}{4} + \frac{1 \cdot 2}{4} + \frac{0 \cdot 1}{4} = \frac{2 + 2 + 0}{4} = \frac{4}{4} = 1;
\)

Таким образом, математическое ожидание \(M(y)\) равно \(1\).

3) Для величины \(xy\):
Теперь вычислим математическое ожидание произведения \(M(xy)\):

\(
M(xy) = 6 \cdot C_3^3 \cdot \frac{1}{2^3} + 4 \cdot C_2^2 \cdot \frac{1}{2^3} + 2 \cdot C_1^1 \cdot \frac{1}{2^3} + 1 \cdot C_1^1 \cdot \frac{1}{2^3};
\)

Подставим значения коэффициентов:

\(
M(xy) = \frac{6 \cdot 1}{8} + \frac{4 \cdot 1}{8} + \frac{2 \cdot 2}{8} + \frac{1 \cdot 2}{8} = \frac{6 + 4 + 4 + 2}{8} = \frac{16}{8} = 2;
\)

Таким образом, математическое ожидание \(M(xy)\) равно \(2\).

4) Ковариация \(x\) и \(y\):
Теперь вычислим ковариацию между величинами \(x\) и \(y\):

\(
\text{cov}(x,y) = M(xy) — M(x) \cdot M(y);
\)

Подставим ранее найденные значения:

\(
\text{cov}(x,y) = 2 — \frac{3}{2} \cdot 1 = 2 — 1.5 = 0.5;
\)

Ответ: \(0.5\).