ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 35.5 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Игральный кубик подбрасывают n раз. Пусть х — количество выпавших при этом пятёрок, а у — шестёрок. Найдите ковариацию случайных величин х и у.

Кубик подбрасывают \(n\) раз:
\(x\) — количество пятёрок;
\(y\) — количество шестерок;

1) Для одного испытания:
\(
M(x) = M(y) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 0 \cdot \frac{5}{6} = \frac{1}{6};
\)
\(
\text{cov}(x,y) = M(xy) — M(x) \cdot M(y);
\)
\(
\text{cov}(x,y) = 0 — \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = -\frac{1}{36};
\)

2) Для \(n\) испытаний:
\(
\text{cov}(nx, ny) = n \cdot \text{cov}(x,y) = — \frac{n}{36};
\)

Ответ: \(-\frac{n}{36}\).

Кубик подбрасывают \(n\) раз:
\(x\) — количество пятёрок;
\(y\) — количество шестерок;

1) Для одного испытания:
Начнём с вычисления математического ожидания \(M(x)\):

\(
M(x) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 0 \cdot \frac{5}{6};
\)
Здесь \(1\) соответствует случаю, когда выпала пятёрка, и вероятность этого события равна \(\frac{1}{6}\). \(0\) соответствует случаям, когда выпала не пятёрка, а вероятность таких случаев равна \(\frac{5}{6}\). Подставим значения:

\(
M(x) = \frac{1}{6} + 0 = \frac{1}{6};
\)

Аналогично вычислим математическое ожидание \(M(y)\):

\(
M(y) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 0 \cdot \frac{5}{6};
\)
Здесь \(1\) соответствует случаю, когда выпала шестерка, и вероятность этого события также равна \(\frac{1}{6}\). Подставим значения:

\(
M(y) = \frac{1}{6} + 0 = \frac{1}{6};
\)

Теперь вычислим ковариацию \(x\) и \(y\):

\(
\text{cov}(x,y) = M(xy) — M(x) \cdot M(y);
\)
Здесь \(M(xy)\) — это математическое ожидание произведения \(xy\). Поскольку \(x\) и \(y\) не могут одновременно принимать значение \(1\), то:

\(
M(xy) = 0;
\)

Теперь подставим значения в формулу для ковариации:

\(
\text{cov}(x,y) = 0 — \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = -\frac{1}{36};
\)

2) Для \(n\) испытаний:
Если кубик подбрасывают \(n\) раз, то количество пятёрок и шестерок будет соответственно равно \(nx\) и \(ny\). Ковариация для этих величин рассчитывается следующим образом:

\(
\text{cov}(nx, ny) = n \cdot \text{cov}(x,y);
\)
Подставим найденное значение ковариации:

\(
\text{cov}(nx, ny) = n \cdot \left(-\frac{1}{36}\right) = — \frac{n}{36};
\)

Ответ: \(-\frac{n}{36}\).