ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 35.6 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Монету подбрасывают 11 раз. Пусть х — количество гербов, выпавших при первых 10 подбрасываниях, а y — количество гербов, выпавших при последних 10 подбрасываниях. Найдите ковариацию случайных величин х и у.

Монету подбрасывают 11 раз:
\(x\) — гербов при первых 10 бросках;
\(y\) — гербов при последних 10 бросках;

1) При \(n\) повторениях:
\(
M(x) = M(y) = \frac{1}{2} n;
\)
\(
D(x) = D(y) = \frac{n}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} n;
\)
\(
M(xy) = \frac{1}{4} (n — 1) + \frac{1}{4} n \cdot (n — 2);
\)

2) При 11 повторениях:
\(
M(x) = M(y) = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5;
\)
\(
M(xy) = \frac{1}{4} \cdot 10 + \frac{1}{4} \cdot 11 \cdot 9 = \frac{109}{4} = 27{,}25;
\)
\(
\text{cov}(x,y) = M(xy) — M(x) \cdot M(y);
\)
\(
\text{cov}(x,y) = 27{,}25 — 25 = 2{,}25;
\)

Ответ: 2,25.

Монету подбрасывают 11 раз:
\(x\) — гербов при первых 10 бросках;
\(y\) — гербов при последних 10 бросках;

1) При \(n\) повторениях:
Начнём с вычисления математического ожидания \(M(x)\):

\(
M(x) = M(y) = \frac{1}{2} n;
\)
Здесь \(\frac{1}{2}\) — это вероятность выпадения герба при одном броске, а \(n\) — общее количество бросков. Подставив значение, получаем:

\(
M(x) = M(y) = \frac{1}{2} n.
\)

Теперь вычислим дисперсию \(D(x)\):

\(
D(x) = D(y) = \frac{n}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} n;
\)
Здесь \(\frac{n}{2}\) — это количество успешных исходов, а \(\frac{1}{2}\) — вероятность успеха. Таким образом, дисперсия равна:

\(
D(x) = D(y) = \frac{1}{4} n.
\)

Теперь найдем математическое ожидание произведения \(M(xy)\):

\(
M(xy) = \frac{1}{4} (n — 1) + \frac{1}{4} n \cdot (n — 2);
\)
Здесь первая часть выражения \(\frac{1}{4} (n — 1)\) учитывает случаи, когда в первом наборе бросков выпало меньше гербов, а вторая часть учитывает случаи, когда в обоих наборах бросков выпало определённое количество гербов.

2) При 11 повторениях:
Теперь подставим \(n = 10\) для первых двух выражений:

\(
M(x) = M(y) = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5;
\)
Таким образом, математические ожидания для \(x\) и \(y\) равны 5.

Теперь вычислим \(M(xy)\):

\(
M(xy) = \frac{1}{4} \cdot 10 + \frac{1}{4} \cdot 11 \cdot 9 = \frac{10}{4} + \frac{99}{4} = \frac{109}{4} = 27{,}25;
\)

Теперь найдем ковариацию \(x\) и \(y\):

\(
\text{cov}(x,y) = M(xy) — M(x) \cdot M(y);
\)
Подставим значения:

\(
\text{cov}(x,y) = 27{,}25 — 25 = 2{,}25;
\)

Ответ: 2,25.