ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 36.1 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что

\(-1 < r_{xy} < 1\).

Доказать неравенство:
\(
-1 \leq r_{xy} \leq 1;
\)
\(
\left| \frac{\text{cov}(x,y)}{\sqrt{D(x)} \cdot \sqrt{D(y)}} \right| \leq 1;
\)
\(
|\text{cov}(x,y)| \leq \sqrt{D(x)} \cdot \sqrt{D(y)};
\)
\(
\text{cov}^2(x,y) \leq D(x) \cdot D(y);
\)

Что и требовалось доказать.

Доказать неравенство:
\(
-1 \leq r_{xy} \leq 1;
\)
Начнём с определения коэффициента корреляции \(r_{xy}\), который определяется как:

\(
r_{xy} = \frac{\text{cov}(x,y)}{\sqrt{D(x)} \cdot \sqrt{D(y)}};
\)
где \(\text{cov}(x,y)\) — ковариация случайных величин \(x\) и \(y\), а \(D(x)\) и \(D(y)\) — дисперсии этих величин.

Теперь рассмотрим абсолютное значение коэффициента корреляции:

\(
\left| r_{xy} \right| = \left| \frac{\text{cov}(x,y)}{\sqrt{D(x)} \cdot \sqrt{D(y)}} \right| \leq 1;
\)
Это неравенство утверждает, что абсолютное значение коэффициента корреляции не превышает единицы. Чтобы доказать это, воспользуемся неравенством Коши-Буняковского, которое гласит, что для любых случайных величин выполняется:

\(
|\text{cov}(x,y)| \leq \sqrt{D(x)} \cdot \sqrt{D(y)};
\)
Это неравенство подтверждает, что ковариация не может превышать произведение стандартных отклонений \(x\) и \(y\).

Следовательно, подставляя это выражение в формулу для коэффициента корреляции, получаем:

\(
\left| r_{xy} \right| \leq 1;
\)

Теперь рассмотрим квадрат ковариации:

\(
\text{cov}^2(x,y) \leq D(x) \cdot D(y);
\)
Это неравенство также следует из неравенства Коши-Буняковского. Таким образом, мы имеем:

\(
-1 \leq r_{xy} \leq 1;
\)

Что и требовалось доказать.