ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 36.2 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что если случайные величины \(x\) и \(y\) связаны линейной зависимостью, т. е.

\(y = kx + b\),

где \(k \neq 0\), то

\(r_{xy} = 1\) при \(k > 0\) и \(r_{xy} = -1\) при \(k < 0\).

Даны случайные величины \(x\) и \(y\):
\(
y = kx + b, \quad k \neq 0;
\)

1) Математическое ожидание:
\(
M(y) = M(kx + b) = k M(x) + b;
\)

2) Дисперсия значений:
\(
D(y) = D(kx + b) = k^2 D(x);
\)

3) Ковариация величин:
\(
\text{cov}(x,y) = M((x — M(x))(y — M(y))) =
\)
\(
= M((x — M(x))(kx + b — kM(x) — b)) = k M((x — M(x))^2) = k D(x);
\)

4) Корреляция величин:
\(
r_{xy} = \frac{\text{cov}(x,y)}{\sqrt{D(x)} \cdot \sqrt{D(y)}} = \frac{k D(x)}{\sqrt{D(x)} \cdot \sqrt{k^2 D(x)}} = \frac{k}{|k|};
\)

5) Если \(k > 0\), тогда:
\(
r_{xy} = \frac{k}{k} = 1;
\)

6) Если \(k < 0\), тогда:
\(
r_{xy} = \frac{k}{-k} = -1;
\)

Что и требовалось доказать.

Даны случайные величины \(x\) и \(y\):
\(
y = kx + b, \quad k \neq 0;
\)

1) Математическое ожидание:
Для нахождения математического ожидания случайной величины \(y\) используем линейность математического ожидания:

\(
M(y) = M(kx + b) = k M(x) + b;
\)
Здесь \(M(x)\) — математическое ожидание величины \(x\), а \(b\) — константа, которая добавляется.

2) Дисперсия значений:
Дисперсия линейной комбинации случайной величины также имеет свои правила. В данном случае, дисперсия \(y\) будет равна:

\(
D(y) = D(kx + b) = k^2 D(x);
\)
Здесь \(D(x)\) — дисперсия величины \(x\), а константа \(b\) не влияет на дисперсию.

3) Ковариация величин:
Ковариация между величинами \(x\) и \(y\) определяется следующим образом:

\(
\text{cov}(x,y) = M((x — M(x))(y — M(y))) =
\)
\(
= M((x — M(x))(kx + b — kM(x) — b));
\)
Упрощая это выражение, получаем:

\(
= k M((x — M(x))^2) = k D(x);
\)
Это показывает, что ковариация пропорциональна дисперсии \(x\) и коэффициенту \(k\).

4) Корреляция величин:
Корреляция определяется как отношение ковариации к произведению стандартных отклонений:

\(
r_{xy} = \frac{\text{cov}(x,y)}{\sqrt{D(x)} \cdot \sqrt{D(y)}};
\)
Подставляя выражения для ковариации и дисперсий, получаем:

\(
r_{xy} = \frac{k D(x)}{\sqrt{D(x)} \cdot \sqrt{k^2 D(x)}};
\)
Упрощая это выражение, мы находим:

\(
r_{xy} = \frac{k}{|k|};
\)

5) Если \(k > 0\), тогда:
В этом случае:

\(
r_{xy} = \frac{k}{k} = 1;
\)

6) Если \(k < 0\), тогда:
В этом случае:

\(
r_{xy} = \frac{k}{-k} = -1;
\)

Таким образом, мы доказали, что если случайные величины \(x\) и \(y\) связаны линейной зависимостью, то коэффициент корреляции \(r_{xy}\) равен 1 при \(k > 0\) и равен -1 при \(k < 0\).

Что и требовалось доказать.