ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 36.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Игральный кубик подбрасывают один раз. Пусть х=1, если выпала пятёрка, и х=0 в остальных случаях; y=1, если выпала шестёрка, и у=0 в остальных случаях. Найдите коэффициент корреляции между случайными величинами х и у.

Кубик подбрасывают один раз:
\(x = 1\) — выпала пятёрка;
\(y = 1\) — выпала шестерка;
\(x = 0, y = 0\) — в остальных случаях;

1) Математическое ожидание:
\(
M(x) = M(y) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 0 \cdot \frac{5}{6} = \frac{1}{6};
\)

2) Дисперсия значений:
\(
D(x) = D(y) = M(x^2) — (M(x))^2 = 1 \cdot \frac{1}{6} + 0 \cdot \frac{5}{6} — \left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{1}{6} — \frac{1}{36} = \frac{5}{36};
\)

3) Ковариация величин:
\(
\text{cov}(x,y) = M(xy) — M(x) \cdot M(y) = 0 — \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = -\frac{1}{36};
\)

4) Корреляция величин:
\(
r_{xy} = \frac{\text{cov}(x,y)}{\sqrt{D(x)} \cdot \sqrt{D(y)}} = \frac{-\frac{1}{36}}{\sqrt{\frac{5}{36}} \cdot \sqrt{\frac{5}{36}}} = \frac{-\frac{1}{36}}{\frac{5}{36}} = -\frac{1}{5};
\)

Ответ: \(-\frac{1}{5}\).

Кубик подбрасывают один раз:
\(x = 1\) — выпала пятёрка;
\(y = 1\) — выпала шестерка;
\(x = 0, y = 0\) — в остальных случаях;

1) Математическое ожидание:
Для нахождения математического ожидания величин \(x\) и \(y\) используется формула:

\(
M(x) = M(y) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 0 \cdot \frac{5}{6} = \frac{1}{6};
\)
Здесь \(1\) соответствует случаю, когда выпала пятёрка (вероятность \(\frac{1}{6}\)), а \(0\) — когда выпало что-то другое (вероятность \(\frac{5}{6}\)).

2) Дисперсия значений:
Дисперсия вычисляется по формуле:

\(
D(x) = D(y) = M(x^2) — (M(x))^2 = 1 \cdot \frac{1}{6} + 0 \cdot \frac{5}{6} — \left(\frac{1}{6}\right)^2;
\)
Подставляя значения, получаем:

\(
D(x) = D(y) = \frac{1}{6} — \frac{1}{36} = \frac{5}{36};
\)

3) Ковариация величин:
Ковариация определяется как:

\(
\text{cov}(x,y) = M(xy) — M(x) \cdot M(y);
\)
В данном случае, поскольку \(xy = 0\) (герб и шестерка не могут выпасть одновременно), имеем:

\(
\text{cov}(x,y) = 0 — \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = -\frac{1}{36};
\)

4) Корреляция величин:
Коэффициент корреляции рассчитывается по формуле:

\(
r_{xy} = \frac{\text{cov}(x,y)}{\sqrt{D(x)} \cdot \sqrt{D(y)}};
\)
Подставляя значения, получаем:

\(
r_{xy} = \frac{-\frac{1}{36}}{\sqrt{\frac{5}{36}} \cdot \sqrt{\frac{5}{36}}} = \frac{-\frac{1}{36}}{\frac{5}{36}} = -\frac{1}{5};
\)

Ответ: \(-\frac{1}{5}\).