ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 36.5 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Игральный кубик подбрасывают n раз. Пусть х — количество выпавших при этом пятёрок, а y — количество шестёрок. Найдите коэффициент корреляции между случайными величинами х и у.

Кубик подбрасывают \(n\) раз:
\(x\) — количество пятёрок;
\(y\) — количество шестерок;

1) Математическое ожидание:
\(
M(x) = M(y) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 0 \cdot \frac{5}{6} = \frac{1}{6};
\)

2) Дисперсия значений:
\(
D(x) = D(y) = M(x^2) — (M(x))^2 = 1 \cdot \frac{1}{6} + 0 \cdot \frac{5}{6} — \left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{1}{6} — \frac{1}{36} = \frac{5}{36};
\)

3) Ковариация величин:
\(
\text{cov}(x,y) = M(xy) — M(x) \cdot M(y) = 0 — \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = -\frac{1}{36};
\)

4) Корреляция величин:
\(
r_{xy} = \frac{\text{cov}(nx,y)}{\sqrt{D(nx)} \cdot \sqrt{D(y)}} = \frac{n \text{cov}(x,y)}{\sqrt{n^2 D(x)} \cdot \sqrt{D(y)}} = \frac{n \cdot \left(-\frac{1}{36}\right)}{n \sqrt{\frac{5}{36}} \cdot \sqrt{\frac{5}{36}}} = \frac{-\frac{n}{36}}{\frac{5n}{36}} = -\frac{1}{5};
\)

Ответ: \(-\frac{1}{5}\).

Кубик подбрасывают \(n\) раз:
\(x\) — количество пятёрок;
\(y\) — количество шестерок;

1) Математическое ожидание:
Для нахождения математического ожидания величин \(x\) и \(y\) используется формула:

\(
M(x) = M(y) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 0 \cdot \frac{5}{6} = \frac{1}{6};
\)
Здесь \(1\) соответствует случаю, когда выпала пятёрка (вероятность \(\frac{1}{6}\)), а \(0\) — когда выпало что-то другое (вероятность \(\frac{5}{6}\)).

2) Дисперсия значений:
Дисперсия вычисляется по формуле:

\(
D(x) = D(y) = M(x^2) — (M(x))^2;
\)
Для нахождения \(M(x^2)\) используем:

\(
M(x^2) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 0 \cdot \frac{5}{6} = \frac{1}{6};
\)
Теперь подставляем это значение в формулу для дисперсии:

\(
D(x) = D(y) = \frac{1}{6} — \left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{1}{6} — \frac{1}{36} = \frac{5}{36};
\)

3) Ковариация величин:
Ковариация определяется как:

\(
\text{cov}(x,y) = M(xy) — M(x) \cdot M(y);
\)
Поскольку в данном случае \(xy = 0\) (герб и шестерка не могут выпасть одновременно), получаем:

\(
M(xy) = 0;
\)
Следовательно,

\(
\text{cov}(x,y) = 0 — \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = -\frac{1}{36};
\)

4) Корреляция величин:
Корреляция рассчитывается по формуле:

\(
r_{xy} = \frac{\text{cov}(nx,y)}{\sqrt{D(nx)} \cdot \sqrt{D(y)}};
\)
Подставляем значения:

\(
r_{xy} = \frac{n \text{cov}(x,y)}{\sqrt{n^2 D(x)} \cdot \sqrt{D(y)}};
\)
Заменяем ковариацию:

\(
= \frac{n \cdot \left(-\frac{1}{36}\right)}{\sqrt{n^2 D(x)} \cdot \sqrt{D(y)}} = \frac{n \cdot \left(-\frac{1}{36}\right)}{n \sqrt{\frac{5}{36}} \cdot \sqrt{\frac{5}{36}}};
\)
Упрощаем выражение:

\(
= \frac{-\frac{n}{36}}{\frac{5n}{36}} = -\frac{1}{5};
\)

Ответ: \(-\frac{1}{5}\).