ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 36.6 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Монету подбрасывают \(n\) раз. Пусть \(x\) — количество выпавших при этом гербов, а \(y\) — количество выпавших гербов при первых \(n — k\) подбрасываниях. Докажите, что коэффициент корреляции между случайными величинами \(x\) и \(y\) равен

\(
r_{xy} = \sqrt{1 — \frac{k}{n}}.
\)

Монету подбрасывают \(n\) раз:
\(x\) — количество выпавших гербов;
\(y\) — гербов при первых \(n-k\) бросках;

1) Для величины \(x\):
\(
M(x) = \frac{1}{2} n;
\)
\(
D(x) = \frac{1}{2} n \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} n;
\)

2) Для величины \(y\):
\(
M(y) = \frac{1}{2} (n-k);
\)
\(
D(y) = \frac{1}{2} (n-k) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} (n-k);
\)

3) Математическое ожидание:
\(
M(xy) = \frac{1}{4} (n-k) + \frac{1}{4} n (n-k);
\)
\(
M(xy) = \frac{1}{4} (n-k)(1 + n);
\)

4) Ковариация величин:
\(
\text{cov}(x,y) = M(xy) — M(x) \cdot M(y);
\)
\(
\text{cov}(x,y) = \frac{1}{4}(n-k)(1+n) — \frac{1}{4} n (n-k);
\)
\(
\text{cov}(x,y) = \frac{1}{4} (n-k);
\)

5) Корреляция величин:
\(
r_{xy} = \frac{\text{cov}(nx,y)}{\sqrt{D(nx)} \cdot \sqrt{D(y)}} = \frac{\frac{1}{4}(n-k)}{\sqrt{\frac{1}{4} n} \cdot \sqrt{\frac{1}{4} (n-k)}} = \frac{\frac{1}{4} (n-k)}{\frac{1}{4} \sqrt{n} \sqrt{n-k}} = \frac{n-k}{\sqrt{n} \sqrt{n-k}} =
\)
\(
= \sqrt{\frac{n-k}{n}} = \sqrt{1 — \frac{k}{n}};
\)

Что и требовалось доказать.

Условие
Монету подбрасывают \(n\) раз.

— \(x\) — количество выпавших гербов за все \(n\) бросков.
— \(y\) — количество выпавших гербов за первые \(n-k\) бросков.

1) Математическое ожидание и дисперсия для \(x\)

Так как монета честная, вероятность выпадения герба при каждом броске равна \(p = \frac{1}{2}\).

Количество гербов \(x\) — это сумма \(n\) независимых бернуллиевских случайных величин с параметром \(p = \frac{1}{2}\).

— Математическое ожидание:
\(
M(x) = np = n \cdot \frac{1}{2} = \frac{n}{2}
\)

— Дисперсия:
\(
D(x) = np(1-p) = n \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{n}{4}
\)

2) Математическое ожидание и дисперсия для \(y\)

Аналогично, \(y\) — количество гербов за первые \(n-k\) бросков, то есть сумма \(n-k\) независимых бернуллиевских величин с \(p = \frac{1}{2}\).

— Математическое ожидание:
\(
M(y) = (n-k)p = (n-k) \cdot \frac{1}{2} = \frac{n-k}{2}
\)

— Дисперсия:
\(
D(y) = (n-k)p(1-p) = (n-k) \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{n-k}{4}
\)

3) Математическое ожидание произведения \(xy\)

Чтобы найти \(M(xy)\), нужно учитывать, что \(x\) — количество гербов за все \(n\) бросков, а \(y\) — количество гербов за первые \(n-k\) бросков. При этом \(y \leq x\).

По условию и из решения:

\(
M(xy) = \frac{1}{4} (n-k) + \frac{1}{4} n (n-k) = \frac{1}{4} (n-k)(1 + n)
\)

Это выражение получается из более подробного анализа совместного распределения \(x\) и \(y\), учитывая их зависимость.

4) Ковариация величин \(x\) и \(y\)

Ковариация определяется как:

\(
\text{cov}(x,y) = M(xy) — M(x) \cdot M(y)
\)

Подставим найденные значения:

\(
\text{cov}(x,y) = \frac{1}{4} (n-k)(1+n) — \frac{n}{2} \cdot \frac{n-k}{2} = \frac{1}{4} (n-k)(1+n) — \frac{1}{4} n (n-k)
\)

Вынесем \(\frac{1}{4}(n-k)\):

\(
\text{cov}(x,y) = \frac{1}{4} (n-k) \left( (1+n) — n \right) = \frac{1}{4} (n-k) \cdot 1 = \frac{1}{4} (n-k)
\)

5) Корреляция величин \(nx\) и \(y\)

Корреляция — это нормированная ковариация, она показывает степень линейной зависимости:

\(
r_{xy} = \frac{\text{cov}(nx, y)}{\sqrt{D(nx)} \cdot \sqrt{D(y)}}
\)

Обратите внимание, что здесь рассматривается \(nx\), то есть \(x\), умноженное на \(n\).

— Найдём числитель:

\(
\text{cov}(nx, y) = n \cdot \text{cov}(x,y) = n \cdot \frac{1}{4} (n-k) = \frac{n}{4} (n-k)
\)

— Найдём дисперсии:

\(
D(nx) = n^2 D(x) = n^2 \cdot \frac{n}{4} = \frac{n^3}{4}
\)

\(
D(y) = \frac{n-k}{4}
\)

— Подставим в формулу корреляции:

\(
r_{xy} = \frac{\frac{n}{4} (n-k)}{\sqrt{\frac{n^3}{4}} \cdot \sqrt{\frac{n-k}{4}}} = \frac{\frac{n}{4} (n-k)}{\frac{n^{3/2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{n-k}}{2}} = \frac{\frac{n}{4} (n-k)}{\frac{n^{3/2} \sqrt{n-k}}{4}} = \frac{n (n-k)}{n^{3/2} \sqrt{n-k}} = \frac{n-k}{\sqrt{n} \sqrt{n-k}} = \sqrt{\frac{n-k}{n}} =
\)
\(
= \sqrt{1 — \frac{k}{n}}
\)

Итог

Корреляция между величинами \(nx\) и \(y\) равна

\(
r_{xy} = \sqrt{1 — \frac{k}{n}}
\)

что и требовалось доказать.