ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 37.1 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Можно ли утверждать, что если \(p(x)\) — плотность распределения вероятностей случайной величины \(X\), то \(0 < p(x) < 1\) для всех \(x\)?

Дана плотность распределения вероятностей \(p(x)\) величины \(t\):
\(0 \leq p(x) \leq 1;\)

1) Выполняется условие:
\(p(x) \geq 0,\quad S(p(x)) = 1;\)

2) Рассмотрим функцию:
\(
p(x) = \begin{cases}
2, & x \in [0; 0{,}5] \\
0, & x \notin [0; 0{,}5]
\end{cases}
\)

\(
S = 2 \cdot 0{,}5 + 0 = 1;
\)

\(p(x) \geq 0, \quad x \in \mathbb{R};\)
\(p(0{,}25) = 2 > 1;\)

Ответ: нет.

Дана плотность распределения вероятностей \(p(x)\) величины \(t\):
\(0 \leq p(x) \leq 1;\)
Это означает, что плотность вероятности для любой случайной величины \(t\) должна быть неотрицательной и не превышать 1.

1) Выполняется условие:
Для любой плотности вероятности должны выполняться два условия:
— \(p(x) \geq 0\): это гарантирует, что вероятность не может быть отрицательной.
— \(S(p(x)) = 1\): это условие означает, что интеграл плотности вероятности по всему пространству значений должен равняться 1, что соответствует полной вероятности.

2) Рассмотрим функцию:
Рассмотрим следующую функцию плотности:

\(
p(x) = \begin{cases}
2, & x \in [0; 0{,}5] \\
0, & x \notin [0; 0{,}5]
\end{cases}
\)

Здесь функция \(p(x)\) принимает значение 2 на интервале от 0 до 0.5 и 0 вне этого интервала.

Теперь вычислим интеграл \(S\):

\(
S = \int_{-\infty}^{+\infty} p(x) \, dx = \int_{0}^{0.5} 2 \, dx + \int_{x \notin (0; 0.5)} 0 \, dx;
\)

Вычисляем первый интеграл:

\(
S = 2 \cdot (0.5 — 0) + 0 = 2 \cdot 0.5 = 1;
\)

Таким образом, первое условие выполняется: \(S(p(x)) = 1\).

Однако, теперь проверим значение функции плотности в конкретной точке:

\(p(x) \geq 0, \quad x \in \mathbb{R};\)
Это означает, что для всех \(x\) функция \(p(x)\) должна быть неотрицательной, что верно.

Но при этом:

\(p(0{,}25) = 2 > 1;\)
Это значение показывает, что в точке \(x = 0.25\) плотность вероятности равна 2, что превышает допустимое значение 1.

Таким образом, хотя интеграл плотности равен 1, значение функции плотности в некоторых точках превышает 1, что недопустимо для функции плотности вероятности.

Ответ: нет.