ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 37.10 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Капля дождя падает в круг радиуса 1 м. Случайная величина t равна расстоянию от упавшей капли до центра круга. Найдите плотность распределения вероятностей случайной величины t.

Капля дождя падает в круг радиуса 1 м;
Величина \(t\) равна расстоянию до центра:
\(
F(x) = P(t \leq x) = \frac{\pi x^2}{\pi r^2} = x^2;
\)

\(
F'(x) = (x^2)’ = 2x;
\)

Ответ:
\(
p(x) = \begin{cases}
2x, & x \in [0; 1], \\
0, & x \notin [0; 1].
\end{cases}
\)

Рассмотрим задачу о капле дождя, падающей в круг радиуса 1 м. В этой задаче величина \(t\) представляет собой расстояние от центра круга до точки, где падает капля.

1. Начнем с определения функции распределения \(F(x)\):

\(
F(x) = P(t \leq x).
\)

Поскольку капля падает равномерно по кругу радиуса 1 м, мы можем выразить вероятность \(P(t \leq x)\) через площадь круга радиусом \(x\) относительно площади полного круга радиусом 1 м. Площадь круга радиусом \(x\) равна \(\pi x^2\), а площадь полного круга радиусом 1 м равна \(\pi r^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi\). Таким образом, вероятность можно записать как:

\(
F(x) = \frac{\pi x^2}{\pi} = x^2, \quad x \in (0; 1).
\)

2. Теперь найдем производную функции распределения \(F(x)\), чтобы получить плотность вероятности \(p(x)\):

\(
F'(x) = (x^2)’ = 2x.
\)

3. Теперь мы можем записать плотность вероятности \(p(x)\):

\(
p(x) = F'(x) = 2x.
\)

4. Учитывая область определения, мы можем записать окончательное выражение для плотности вероятности:

\(
p(x) =
\begin{cases}
2x, & x \in [0; 1], \\
0, & x \notin [0; 1].
\end{cases}
\)

Таким образом, мы получили плотность вероятности для расстояния от центра круга до точки падения капли дождя.