ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 37.5 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Случайная величина \(t\) равна времени (в секундах), за которое спринтер пробегает 100 м. Плотность распределения вероятностей случайной величины \(t\) имеет вид:

\(
p(x) =
\begin{cases}
2 \sin^2(\pi x), & x \in [11; 12]; \\
0, & x \notin [11; 12].
\end{cases}
\)

Найдите такое время \(t^* \in (11; 12)\), что \(P(t < t^*) = P(t > t^*)\).

Дана плотность распределения вероятностей \(p(x)\) величины \(t\):
\(
p(x) = \begin{cases}
2 \sin^2 \pi x, & x \in [11; 12], \\
0, & x \notin [11; 12]
\end{cases}
\)

1) Вершины графика:
\(
p'(x) = 2 \cdot 2\pi \cdot \sin \pi x \cos \pi x = 0;
\)

\(
2 \sin 2\pi x = 0, \quad \sin 2\pi x = 0;
\)

\(
2 \pi x = \pi n, \quad x = \frac{n}{2};
\)

2) Нули функции:
\(
2 \sin^2 \pi x = 0, \quad \sin \pi x = 0;
\)

\(
\pi x = \pi n, \quad x = n;
\)

3) Выполняется условие:
\(
P(t \leq t^*) = P(t \geq t^*);
\)

\(
t^* = 11,5;
\)

Ответ: 11,5.

Дана плотность распределения вероятностей \(p(x)\) величины \(t\):
\(
p(x) = \begin{cases}
2 \sin^2 \pi x, & x \in [11; 12], \\
0, & x \notin [11; 12]
\end{cases}
\)

1) Вершины графика:

Для нахождения вершин графика функции плотности необходимо найти производную \(p'(x)\):

\(
p'(x) = \frac{d}{dx}(2 \sin^2 \pi x) = 2 \cdot 2\pi \cdot \sin \pi x \cos \pi x = 2\pi \sin(2\pi x).
\)

Чтобы найти точки, в которых производная равна нулю, решим уравнение:

\(
p'(x) = 0 \Rightarrow 2\pi \sin(2\pi x) = 0.
\)

Это уравнение выполняется, когда:

\(
\sin(2\pi x) = 0.
\)

Следовательно, \(2\pi x = \pi n\), где \(n\) — целое число. Из этого уравнения получаем:

\(
x = \frac{n}{2}.
\)

Теперь нужно определить, какие значения \(n\) подходят для интервала \(x \in (11; 12)\). Подставляя \(n = 22\) и \(n = 23\):

— Для \(n = 22: x = 11\)
— Для \(n = 23: x = 11.5\)
— Для \(n = 24: x = 12\)

Таким образом, вершины графика функции плотности находятся в точках \(x = 11\), \(x = 11.5\) и \(x = 12\).

2) Нули функции:

Нули функции находятся в точках, где \(p(x) = 0\):

\(
2 \sin^2 \pi x = 0 \Rightarrow \sin^2 \pi x = 0.
\)

Это уравнение выполняется, когда:

\(
\sin \pi x = 0.
\)

Следовательно, \(\pi x = \pi n\), где \(n\) — целое число. Из этого уравнения получаем:

\(
x = n.
\)

Для интервала \(x \in (11; 12)\) возможные значения:

— Для \(n = 11: x = 11\)
— Для \(n = 12: x = 12\)

Таким образом, нули функции находятся в точках \(x = 11\) и \(x = 12\).

3) Выполняется условие:

Необходимо найти такое значение \(t^*\), что:

\(
P(t \leq t^*) = P(t \geq t^*).
\)

Поскольку полная вероятность равна единице, имеем:

\(
P(t < t^*) + P(t > t^*) = 1.
\)

Если \(P(t < t^*) = P(t > t^*)\), то:

\(
P(t < t^*) = P(t > t^*) = \frac{1}{2}.
\)

Так как функция плотности симметрична относительно точки \(t^*\), ее значение делит интервал на две равные части. В данном случае, это происходит в середине интервала:

\(
t^* = \frac{11 + 12}{2} = 11.5.
\)

Ответ: \(t^* = 11.5.\)