ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 37.6 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

При каких значениях \(a\) функция

\(
p(x) =
\begin{cases}
ax, & x \in [1; 3], \\
0, & x \notin [1; 3]
\end{cases}
\)

является плотностью распределения вероятностей случайной величины?

Дана плотность распределения вероятностей \(p(x)\) величины \(t\):
\(
p(x) = \begin{cases}
ax, & x \in [1; 3], \\
0, & x \notin [1; 3]
\end{cases}
\)

Выполняется условие:
\(
S = \int_1^3 ax \, dx = 1;
\)

\(
S = \left.\frac{ax^2}{2}\right|_1^3 = 1;
\)

\(
\frac{9a}{2} — \frac{a}{2} = 1;
\)

\(
\frac{8a}{2} = 1;
\)

\(
4a = 1;
\)

\(
a = 0,25;
\)

Ответ: 0,25.

Мы имеем плотность распределения вероятностей \(p(x)\) для случайной величины \(t\), которая задана следующим образом:

\(
p(x) =
\begin{cases}
ax, & x \in [1; 3], \\
0, & x \notin [1; 3]
\end{cases}
\)

Это означает, что функция \(p(x)\) равна \(ax\) в интервале от 1 до 3, и равна 0 вне этого интервала. Чтобы \(p(x)\) была корректной плотностью вероятности, необходимо, чтобы интеграл от \(p(x)\) по всему пространству равнялся 1.

Для этого мы вычисляем интеграл:

\(
S = \int_1^3 ax \, dx
\)

Теперь найдем этот интеграл. Мы можем вынести \(a\) за знак интеграла:

\(
S = a \int_1^3 x \, dx
\)

Вычислим интеграл:

\(
\int x \, dx = \frac{x^2}{2}
\)

Теперь подставим пределы:

\(
S = a \left[ \frac{x^2}{2} \right]_1^3 = a \left( \frac{3^2}{2} — \frac{1^2}{2} \right)
\)

Это упрощается до:

\(
S = a \left( \frac{9}{2} — \frac{1}{2} \right) = a \left( \frac{8}{2} \right) = 4a
\)

Мы знаем, что \(S\) должно равняться 1:

\(
4a = 1
\)

Теперь решим это уравнение для \(a\):

\(
a = \frac{1}{4} = 0.25
\)

Таким образом, мы нашли значение \(a\), которое равно 0.25. Это значение позволяет функции \(p(x)\) быть корректной плотностью вероятности.

В итоге мы можем записать ответ:

Ответ: 0.25.