ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 37.7 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Дана функция \( p(x) =
\begin{cases}
\cos(x), & x \in [0; b], \\
0, & x \notin [0; b]
\end{cases} \)

При каких значениях \( b \) эта функция является плотностью распределения вероятностей случайной величины?

Функция \( p(x) \) должна удовлетворять следующим условиям:

1. \( p(x) \geq 0 \) для всех \( x \).
2. \( \int_0^b p(x) \, dx = 1 \).

Дана плотность распределения вероятностей \(p(x)\) величины \(t\):
\(
p(x) = \begin{cases}
\cos x, & x \in [0; b], \\
0, & x \notin [0; b[
\end{cases}
\)

Выполняется условие:
\(
S = \int_0^b \cos x \, dx = 1;
\)

\(
S = \sin x \big|_0^b = 1;
\)

\(
\sin b — \sin 0 = 1;
\)

\(
\sin b = 1, \quad \cos x \geq 0;
\)

\(
b = \frac{\pi}{2}.
\)

Ответ: \(\frac{\pi}{2}\).

У нас есть плотность распределения вероятностей \(p(x)\) величины \(t\), заданная следующим образом:

\(
p(x) = \begin{cases}
\cos x, & x \in [0; b], \\
0, & x \notin [0; b]
\end{cases}
\)

1. Условие нормировки

Мы знаем, что для плотности вероятности необходимо, чтобы интеграл по всей области определения равнялся 1. В данном случае это означает, что мы должны вычислить интеграл от функции \(\cos x\) на интервале \([0; b]\):

\(
S = \int_0^b \cos x \, dx
\)

2. Вычисление интеграла

Теперь вычислим этот интеграл:

\(
S = \int_0^b \cos x \, dx = \sin x \big|_0^b
\)

Подставляем пределы интегрирования:

\(
S = \sin b — \sin 0
\)

Зная, что \(\sin 0 = 0\), получаем:

\(
S = \sin b — 0 = \sin b
\)

3. Условие нормировки

Согласно условию нормировки, мы установили, что:

\(
S = 1
\)

Таким образом, мы имеем:

\(
\sin b = 1
\)

4. Решение уравнения

Функция синуса равна 1 при \(b = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\), где \(k\) — целое число. Однако в нашем случае мы рассматриваем только положительное значение \(b\) в интервале \((0; b)\), поэтому:

\(
b = \frac{\pi}{2}
\)

5. Проверка условия неотрицательности

Кроме того, нам нужно убедиться, что функция \(\cos x\) неотрицательна на интервале от 0 до \(b\). Мы знаем, что:

— При \(x = 0\), \(\cos(0) = 1\) (положительно).
— При \(x = \frac{\pi}{2}\), \(\cos(\frac{\pi}{2}) = 0\) (неотрицательно).

Таким образом, на интервале \((0; \frac{\pi}{2})\) функция \(\cos x\) остаётся неотрицательной.

Ответ

Итак, мы пришли к ответу:

\(
b = \frac{\pi}{2}.
\)

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, дайте знать!