ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 37.8 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Функция

\(
p(x) = \begin{cases}
e^{-x}, & x > 0, \\
0, & x < 0
\end{cases}
\)

является плотностью распределения вероятностей некоторой случайной величины \(t\). Найдите вероятность того, что:

1) \(1 < t < 3\);
2) \(t > 0\);
3) \(t < 1\).

Дана плотность распределения \(p(x)\) величины \(t\):
\(
p(x) = \begin{cases}
e^{-x}, & x \geq 0, \\
0, & x < 0;
\end{cases}
\)

1)
\(
P(1 \leq t \leq 3) = \int_1^3 e^{-x} \, dx = -e^{-x} \big|_1^3 = -e^{-3} + e^{-1};
\)
Ответ: \(e^{-1} — e^{-3}\).

2)
\(
P(t > 0) = 1 — P(t < 0) = 1;
\)
Ответ: 1.

3)
\(
P(t \leq 1) = \int_0^1 e^{-x} \, dx = -e^{-x} \big|_0^1 = -e^{-1} + e^{0} = 1 — e^{-1};
\)
Ответ: \(1 — e^{-1}\).

Дана плотность распределения \(p(x)\) величины \(t\):

\(
p(x) = \begin{cases}
e^{-x}, & x \geq 0, \\
0, & x < 0;
\end{cases}
\)

1) Найдите вероятность \(P(1 \leq t \leq 3)\):

Для вычисления этой вероятности мы используем интеграл от функции плотности:

\(
P(1 \leq t \leq 3) = \int_1^3 e^{-x} \, dx
\)

Вычислим интеграл:

\(
P(1 \leq t \leq 3) = -e^{-x} \big|_1^3 = -e^{-3} + e^{-1}
\)

Таким образом, ответ:

\(
P(1 \leq t \leq 3) = e^{-1} — e^{-3}
\)

2) Найдите вероятность \(P(t > 0)\):

Мы знаем, что плотность распределения равна нулю для \(x < 0\), следовательно:

\(
P(t > 0) = 1 — P(t < 0) = 1
\)

Ответ:

\(
P(t > 0) = 1
\)

3) Найдите вероятность \(P(t \leq 1)\):

Для вычисления этой вероятности также используем интеграл:

\(
P(t \leq 1) = \int_0^1 e^{-x} \, dx
\)

Вычислим интеграл:

\(
P(t \leq 1) = -e^{-x} \big|_0^1 = -e^{-1} + e^{0} = 1 — e^{-1}
\)

Таким образом, ответ:

\(
P(t \leq 1) = 1 — e^{-1}
\)