ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 37.9 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Множеством значений случайной величины \(t\) является промежуток \([a; b]\). На этом промежутке определена функция \(F\) так, что

\(
F(x) = P(t < x), \quad x \in [a; b].
\)

Оказалось, что \(F\) — дифференцируемая функция. Докажите, что функция

\(
p(x) = \begin{cases}
F'(x), & x \in [a; b], \\
0, & x \notin [a; b]
\end{cases}
\)

является плотностью распределения вероятностей случайной величины \(t\).

Дана плотность распределения \(p(x)\) величины \(t\):
\(
F(x) = P(t \leq x), \quad x \in (a; b);
\)

1) Вероятность попадания \(t\) в промежуток:
\(
P(x \leq t \leq x + \Delta x) = F(x + \Delta x) — F(x);
\)

\(
\frac{P(x \leq t \leq x + \Delta x)}{\Delta x} = \frac{F(x + \Delta x) — F(x)}{\Delta x};
\)

\(
p(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{F(x + \Delta x) — F(x)}{\Delta x} = F'(x);
\)

2) Учитывая область определения:
\(
p(x) = \begin{cases}
F'(x), & x \in [a; b], \\
0, & x \notin [a; b]
\end{cases};
\)

Что и требовалось доказать.

1. Начнем с определения функции распределения \(F(x)\):

\(
F(x) = P(t \leq x), \quad x \in (a; b).
\)

Функция \(F(x)\) представляет собой вероятность того, что случайная величина \(t\) принимает значение, не превышающее \(x\). Она определена на интервале \( (a; b) \).

2. Теперь рассмотрим вероятность попадания \(t\) в небольшой промежуток \( (x, x + \Delta x) \):

\(
P(x \leq t \leq x + \Delta x) = F(x + \Delta x) — F(x).
\)

Это выражение показывает, что вероятность того, что \(t\) находится в интервале от \(x\) до \(x + \Delta x\), равна разности значений функции распределения в точках \(x + \Delta x\) и \(x\).

3. Теперь мы можем рассмотреть отношение этой вероятности к ширине интервала \(\Delta x\):

\(
\frac{P(x \leq t \leq x + \Delta x)}{\Delta x} = \frac{F(x + \Delta x) — F(x)}{\Delta x}.
\)

Это отношение представляет собой среднюю плотность вероятности на интервале \( (x, x + \Delta x) \).

4. Далее мы берем предел, когда \(\Delta x\) стремится к нулю:

\(
p(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{F(x + \Delta x) — F(x)}{\Delta x} = F'(x).
\)

Таким образом, мы получаем, что плотность вероятности \(p(x)\) равна производной функции распределения \(F(x)\).

5. Теперь необходимо учесть область определения функции плотности. Поскольку функция распределения \(F(x)\) определена только на интервале \( (a; b) \), мы можем записать:

\(
p(x) =
\begin{cases}
F'(x), & x \in [a; b], \\
0, & x \notin [a; b].
\end{cases}
\)

Это означает, что плотность вероятности равна производной функции распределения на интервале \( (a; b) \) и равна нулю вне этого интервала.

Таким образом, мы пришли к искомому результату, что и требовалось доказать.