ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 38.2 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Случайная величина \(t\) имеет равномерное распределение на промежутке \([0; 1]\). Найдите вероятность того, что:

1) \(0 < t < \frac{1}{3};\)
2) \(t < \frac{1}{3};\)
3) \(t > \frac{1}{2};\)
4) \(|3t — 2| > \frac{1}{4}.\)

Случайная величина \( t \) имеет равномерное распределение:
\( t \in (0; 1); \)

1)
\(
P\left(0 \leq t \leq \frac{1}{3}\right) = \frac{\frac{1}{3} — 0}{1 — 0} = \frac{1}{3};
\)
Ответ: \(\frac{1}{3}\).

2)
\(
P\left(t \leq \frac{1}{3}\right) = \frac{\frac{1}{3} — 0}{1 — 0} = \frac{1}{3};
\)

3)
\(
P\left(t \geq \frac{1}{2}\right) = \frac{1 — \frac{1}{2}}{1 — 0} = \frac{1}{2};
\)
Ответ: \(\frac{1}{2}\).

4)
\(
P\left(|3t — 2| \geq \frac{1}{4}\right) = P\left(3t — 2 \leq -\frac{1}{4}, \quad 3t — 2 \geq \frac{1}{4}\right) =
\)
\(
= P\left(3t \leq \frac{7}{4}, \quad 3t \geq \frac{9}{4}\right) = P\left(t \leq \frac{7}{12}, \quad t \geq \frac{3}{4}\right) =
\)
\(
= \frac{\frac{7}{12} — 0}{1 — 0} + \frac{1 — \frac{3}{4}}{1 — 0} = \frac{7}{12} + \frac{1}{4} = \frac{5}{6};
\)
Ответ: \(\frac{5}{6}\).

(Все ответы в учебнике неверны);

Рассмотрим случайную величину \( t \), которая имеет равномерное распределение на интервале \( (0; 1) \). Это означает, что все значения \( t \) в этом интервале имеют одинаковую вероятность появления.

1. Вероятность того, что \( 0 \leq t \leq \frac{1}{3} \):

Для нахождения этой вероятности используем формулу для равномерного распределения:

\(
P(0 \leq t \leq \frac{1}{3}) = \frac{\text{длина отрезка}}{\text{длина всего интервала}}.
\)

Длина отрезка от \( 0 \) до \( \frac{1}{3} \) равна \( \frac{1}{3} — 0 = \frac{1}{3} \). Длина всего интервала от \( 0 \) до \( 1 \) равна \( 1 — 0 = 1 \).

Подставляем значения:

\(
P(0 \leq t \leq \frac{1}{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{1} = \frac{1}{3}.
\)

Таким образом, вероятность того, что \( t \) находится в интервале от \( 0 \) до \( \frac{1}{3} \), равна \( \frac{1}{3} \).

2. Вероятность того, что \( t \leq \frac{1}{3} \):

Здесь мы также используем аналогичную формулу:

\(
P(t \leq \frac{1}{3}) = \frac{\text{длина отрезка}}{\text{длина всего интервала}}.
\)

Длина отрезка от \( 0 \) до \( \frac{1}{3} \) по-прежнему равна \( \frac{1}{3} \). Длина всего интервала остается \( 1 \).

Подставляем значения:

\(
P(t \leq \frac{1}{3}) = \frac{\frac{1}{3}}{1} = \frac{1}{3}.
\)

Таким образом, вероятность того, что \( t \) меньше или равно \( \frac{1}{3} \), также равна \( \frac{1}{3} \).

3. Вероятность того, что \( t \geq \frac{1}{2} \):

Для этой вероятности используем ту же формулу:

\(
P(t \geq \frac{1}{2}) = \frac{\text{длина отрезка}}{\text{длина всего интервала}}.
\)

Длина отрезка от \( \frac{1}{2} \) до \( 1 \) равна \( 1 — \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \). Длина всего интервала остается \( 1 \).

Подставляем значения:

\(
P(t \geq \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{2}}{1} = \frac{1}{2}.
\)

Таким образом, вероятность того, что \( t \) больше или равно \( \frac{1}{2} \), равна \( \frac{1}{2} \).

4) Найдем вероятность того, что \(|3t — 2| \geq \frac{1}{4}\):

Сначала разложим это условие на два неравенства:

\(
P\left(|3t — 2| \geq \frac{1}{4}\right) = P\left(3t — 2 \leq -\frac{1}{4}\right) + P\left(3t — 2 \geq \frac{1}{4}\right).
\)

Теперь решим каждое из неравенств.

Для первого неравенства:

\(
3t — 2 \leq -\frac{1}{4}
\)

Добавим 2 к обеим сторонам:

\(
3t \leq -\frac{1}{4} + 2
\)

Запишем 2 в виде дроби:

\(
2 = \frac{8}{4}
\)

Таким образом, у нас получается:

\(
3t \leq -\frac{1}{4} + \frac{8}{4} = \frac{7}{4}.
\)

Теперь делим обе стороны на 3:

\(
t \leq \frac{7}{12}.
\)

Теперь решим второе неравенство:

\(
3t — 2 \geq \frac{1}{4}.
\)

Добавим 2 к обеим сторонам:

\(
3t \geq \frac{1}{4} + 2.
\)

Запишем 2 в виде дроби:

\(
2 = \frac{8}{4}.
\)

Таким образом, у нас получается:

\(
3t \geq \frac{1}{4} + \frac{8}{4} = \frac{9}{4}.
\)

Теперь делим обе стороны на 3:

\(
t \geq \frac{9}{12} = \frac{3}{4}.
\)

Теперь мы имеем два условия:

1. \( t \leq \frac{7}{12} \)
2. \( t \geq \frac{3}{4} \)

Теперь найдем вероятность для этих двух условий:

Для первого условия:

\(
P\left(t \leq \frac{7}{12}\right) = \frac{\frac{7}{12} — 0}{1 — 0} = \frac{7}{12}.
\)

Для второго условия:

\(
P\left(t \geq \frac{3}{4}\right) = P\left(t > \frac{3}{4}\right) = \frac{1 — \frac{3}{4}}{1 — 0} = \frac{1}{4}.
\)

Теперь сложим вероятности:

\(
P\left(|3t — 2| \geq \frac{1}{4}\right) = P\left(t \leq \frac{7}{12}\right) + P\left(t \geq \frac{3}{4}\right).
\)

Подставляем значения:

\(
P\left(|3t — 2| \geq \frac{1}{4}\right) = \frac{7}{12} + \frac{1}{4}.
\)

Приведем к общему знаменателю:

Знаменатель для \( \frac{1}{4} = \frac{3}{12} \), тогда:

\(
P\left(|3t — 2| \geq \frac{1}{4}\right) = \frac{7}{12} + \frac{3}{12} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}.
\)

Ответ:

\(
P\left(|3t — 2| \geq \frac{1}{4}\right) = \frac{5}{6}.
\)