ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 38.3 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Множеством значений случайной величины \( t \) является отрезок \([0; 1]\). Известно, что

\(
P(0 < t < x) = x \quad \text{для всех } x \in [0; 1].
\)

Можно ли утверждать, что случайная величина \( t \) имеет равномерное распределение?

О случайной величине \(t\) известно:
\(
P(0 \leq t \leq x) = x, \quad x \in [0; 1];
\)

Если распределение равномерно:
\(
P(0 \leq t \leq x) = P(t \leq x) = \frac{x — 0}{1 — 0} = x;
\)

Ответ: да.

О случайной величине \(t\) известно:

\(
P(0 \leq t \leq x) = x, \quad x \in [0; 1];
\)

Это утверждение означает, что вероятность того, что случайная величина \(t\) находится в интервале от 0 до \(x\), равна \(x\) для любого \(x\) из интервала \([0; 1]\). В частности, это говорит о том, что если мы возьмем произвольное значение \(x\) в пределах от 0 до 1, то вероятность попадания \(t\) в этот интервал будет равна самому значению \(x\).

Теперь рассмотрим, что означает равномерное распределение. Если случайная величина \(t\) имеет равномерное распределение на отрезке \([0; 1]\), то это означает, что все значения в этом интервале равновероятны. Для равномерного распределения вероятность того, что случайная величина \(t\) меньше или равна какому-то значению \(x\) (где \(x\) также находится в интервале \([0; 1]\)), определяется следующим образом:

\(
P(0 \leq t \leq x) = P(t \leq x) = \frac{x — 0}{1 — 0} = \frac{x}{1} = x.
\)

Здесь:

— \(P(t \leq x)\) — это вероятность того, что случайная величина \(t\) меньше или равна \(x\).
— В числителе дроби мы имеем длину интервала от 0 до \(x\), которая равна \(x\).
— В знаменателе дроби мы имеем длину всего интервала от 0 до 1, которая равна 1.

Таким образом, для равномерного распределения мы также получаем, что

\(
P(0 \leq t \leq x) = x.
\)

Теперь сравним два выражения:

1. Первое выражение, данное в условии, говорит, что

\(
P(0 \leq t \leq x) = x.
\)

2. Второе выражение, основанное на свойствах равномерного распределения, также говорит, что

\(
P(0 \leq t \leq x) = x.
\)

Поскольку оба выражения совпадают для всех \(x \in [0; 1]\), мы можем сделать вывод о том, что случайная величина \(t\) действительно имеет равномерное распределение на отрезке \([0; 1]\).

Ответ: да.