ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 38.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Случайная величина \( t \) имеет равномерное распределение на промежутке \( [0; 1] \). Найдите плотность распределения вероятностей случайной величины:

1) \( z = 2t + 1 \);
2) \( u = \sqrt{t} \);
3) \( s = t^2 — 4t \).

Случайная величина \( t \) имеет равномерное распределение:
\( t \in (0; 1); \)

1)
\(
z = 2t + 1; \quad 2t = z — 1; \quad t = 0{,}5z — 0{,}5;
\)
\(
z_{\min} = 2 \cdot 0 + 1 = 0 + 1 = 1; \quad z_{\max} = 2 \cdot 1 + 1 = 2 + 1 = 3;
\)
\(
F(x) = P(z \leq x);
\)
\(
F(x) = P(t \leq 0{,}5x — 0{,}5);
\)
\(
F(x) = 0{,}5x — 0{,}5;
\)
\(
F'(x) = 0{,}5;
\)
Ответ:
\(
p(x) = \begin{cases}
0{,}5, & x \in [1; 3] \\
0, & x \notin [1; 3]
\end{cases}
\)

2)
\(
u = \sqrt{t};
\)
\(
t = u^2;
\)
\(
u_{\min} = \sqrt{0} = 0;
\)
\(
u_{\max} = \sqrt{1} = 1;
\)
\(
F(x) = P(u \leq x);
\)
\(
F(x) = P(t \leq x^2) = x^2;
\)
\(
F'(x) = (x^2)’ = 2x;
\)
Ответ:
\(
p(x) = \begin{cases}
2x, & x \in [0; 1] \\
0, & x \notin [0; 1]
\end{cases}
\)

3)
\(
s = t^2 — 4t;
\)
\(
s = (t — 2)^2 — 4;
\)
\(
(t — 2)^2 = s + 4;
\)
\(
t — 2 = \sqrt{s + 4};
\)
\(
t = 2 + \sqrt{s + 4};
\)
\(
s_{\min} = 1^2 — 4 \cdot 1 = 1 — 4 = -3;
\)
\(
s_{\max} = 0^2 — 4 \cdot 0 = 0 — 0 = 0;
\)
\(
F(x) = P(s \leq x);
\)
\(
F(x) = P(t \leq 2 + \sqrt{x + 4});
\)
\(
F(x) = 2 + \sqrt{x + 4};
\)
\(
F'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x + 4}};
\)
Ответ:
\(
p(x) = \begin{cases}
\frac{1}{2 \sqrt{x + 4}}, & x \in [-3; 0] \\
0, & x \notin [-3; 0]
\end{cases}
\)

Случайная величина \( t \) имеет равномерное распределение:
\( t \in (0; 1) \).

1)
Рассмотрим случайную величину
\(
z = 2t + 1.
\)
Выразим \( t \) через \( z \):
\(
2t = z — 1, \quad t = 0{,}5z — 0{,}5.
\)
Найдём минимум и максимум \( z \):
\(
z_{\min} = 2 \cdot 0 + 1 = 1, \quad z_{\max} = 2 \cdot 1 + 1 = 3.
\)
Функция распределения \( z \) равна вероятности:
\(
F(x) = P(z \leq x) = P\big(t \leq 0{,}5x — 0{,}5\big).
\)
Так как \( t \) равномерна на \( (0;1) \), функция распределения для \( t \) равна значению аргумента (при условии, что он в интервале):
\(
F(x) = 0{,}5x — 0{,}5.
\)
Плотность распределения — производная функции распределения:
\(
F'(x) = 0{,}5.
\)
Ответ:
\(
p(x) = \begin{cases}
0{,}5, & x \in [1; 3] \\
0, & x \notin [1; 3]
\end{cases}
\)

2)
Рассмотрим случайную величину
\(
u = \sqrt{t}.
\)
Обратное выражение:
\(
t = u^2.
\)
Найдём границы для \( u \):
\(
u_{\min} = \sqrt{0} = 0, \quad u_{\max} = \sqrt{1} = 1.
\)
Функция распределения для \( u \):
\(
F(x) = P(u \leq x) = P(t \leq x^2).
\)
Так как \( t \) равномерна на \( (0;1) \),
\(
F(x) = x^2.
\)
Плотность распределения:
\(
F'(x) = \frac{d}{dx} x^2 = 2x.
\)
Ответ:
\(
p(x) = \begin{cases}
2x, & x \in [0; 1] \\
0, & x \notin [0; 1]
\end{cases}
\)

3)
Рассмотрим случайную величину
\(
s = t^2 — 4t.
\)
Преобразуем выражение:
\(
s = (t — 2)^2 — 4.
\)
Выразим \( t \) через \( s \):
\(
(t — 2)^2 = s + 4,
\)
\(
t — 2 = \sqrt{s + 4},
\)
\(
t = 2 + \sqrt{s + 4}.
\)
Найдём границы для \( s \):
\(
s_{\min} = 1^2 — 4 \cdot 1 = 1 — 4 = -3,
\)
\(
s_{\max} = 0^2 — 4 \cdot 0 = 0.
\)
Функция распределения для \( s \):
\(
F(x) = P(s \leq x) = P\big(t \leq 2 + \sqrt{x + 4}\big).
\)
Поскольку \( t \) равномерна на \( (0;1) \), функция распределения равна:
\(
F(x) = 2 + \sqrt{x + 4}.
\)
Плотность распределения — производная:
\(
F'(x) = \frac{d}{dx} \left(2 + \sqrt{x + 4}\right) = \frac{1}{2 \sqrt{x + 4}}.
\)
Ответ:
\(
p(x) = \begin{cases}
\frac{1}{2 \sqrt{x + 4}}, & x \in [-3; 0] \\
0, & x \notin [-3; 0]
\end{cases}
\)