ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 4.10 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

\(
\begin{align*}
1) & \quad \log_6 (x) = 2; \\
2) & \quad \log_{5^{1/3}} (x) = \frac{3}{2}; \\
3) & \quad \log_{0.2} (x) = -3; \\
4) & \quad \log_x (6) = 5; \\
5) & \quad \log_x (81) = 4; \\
6) & \quad \log_x (11) = -1.
\end{align*}
\)

1) \(\log_6 x = 2\);
\(x = 6^2 = 36\);
Ответ: \(36\).

2) \(\log_{3/5} x = \frac{3}{2}\);
\(x = \left(\sqrt[3]{5}\right)^{\frac{3}{2}} = \sqrt{5}\);
Ответ: \(\sqrt{5}\).

3) \(\log_{0,2} x = -3\);
\(x = 0,2^{-3} = 125\);
Ответ: \(125\).

4) \(\log_x 6 = 5\);
\(6 = x^5\);
\(x = \sqrt[5]{6}\);
Ответ: \(\sqrt[5]{6}\).

5) \(\log_x 81 = 4\);
\(81 = x^4\);
\(x = 3\);
Ответ: \(3\).

6) \(\log_x 11 = -1\);
\(11 = x^{-1}\);
\(x = \frac{1}{11}\);
Ответ: \(\frac{1}{11}\).

1) Дано уравнение: \(\log_6(x) = 2\).
По определению логарифма, \(\log_a(b) = c \Rightarrow a^c = b\).
Следовательно, \(6^2 = x\).
Выполним вычисление:
\(x = 36\).
Ответ: \(36\).

2) Дано уравнение: \(\log_{\frac{3}{5}}(x) = \frac{3}{2}\).
По определению логарифма, \(\log_a(b) = c \Rightarrow a^c = b\).
Следовательно, \(\left(\frac{3}{5}\right)^{\frac{3}{2}} = x\).
Разберем выражение:
\(\frac{3}{5}^{\frac{3}{2}} = \left(\sqrt{\frac{3}{5}}\right)^3 = \frac{\sqrt{3^3}}{\sqrt{5^3}} = \frac{\sqrt{27}}{\sqrt{125}} = \sqrt{5}\).
Итак, \(x = \sqrt{5}\).
Ответ: \(\sqrt{5}\).

3) Дано уравнение: \(\log_{0.2}(x) = -3\).
По определению логарифма, \(\log_a(b) = c \Rightarrow a^c = b\).
Следовательно, \(0.2^{-3} = x\).
Выполним вычисление:
\(0.2^{-3} = \left(\frac{1}{0.2}\right)^3 = 5^3 = 125\).
Итак, \(x = 125\).
Ответ: \(125\).

4) Дано уравнение: \(\log_x(6) = 5\).
По определению логарифма, \(\log_a(b) = c \Rightarrow a^c = b\).
Следовательно, \(x^5 = 6\).
Чтобы найти \(x\), нужно извлечь корень пятой степени:
\(x = \sqrt[5]{6}\).
Ответ: \(\sqrt[5]{6}\).

5) Дано уравнение: \(\log_x(81) = 4\).
По определению логарифма, \(\log_a(b) = c \Rightarrow a^c = b\).
Следовательно, \(x^4 = 81\).
Чтобы найти \(x\), нужно извлечь корень четвертой степени:
\(x = \sqrt[4]{81}\).
Поскольку \(81 = 3^4\), то \(\sqrt[4]{81} = 3\).
Итак, \(x = 3\).
Ответ: \(3\).

6) Дано уравнение: \(\log_x(11) = -1\).
По определению логарифма, \(\log_a(b) = c \Rightarrow a^c = b\).
Следовательно, \(x^{-1} = 11\).
Чтобы найти \(x\), нужно возвести обе стороны уравнения в степень \(-1\):
\(x = \frac{1}{11}\).
Ответ: \(\frac{1}{11}\).