ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 4.11 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

\(
\begin{align*}
1) & \quad 6^x = 2; \\
2) & \quad 5^x = 10; \\
3) & \quad 0.4^x = 9; \\
4) & \quad 2^{x-3} = 5; \\
5) & \quad \left(\frac{1}{3}\right)^{1-x} = 2; \\
6) & \quad 0.3^{3x+2} = 7.
\end{align*}
\)

1) \(6^x = 2\); \(\log_6 6^x = \log_6 2\); \(x = \log_6 2\);
2) \(5^x = 10\); \(\log_5 5^x = \log_5 10\); \(x = \log_5 10\);
3) \(0,4^x = 9\); \(\log_{0,4} 0,4^x = \log_{0,4} 9\); \(x = \log_{0,4} 9\);

4) \(2^{x-3} = 5\); \(\log_2 2^{x-3} = \log_2 5\);
\(x — 3 = \log_2 5\);
\(x = \log_2 5 + 3\);

5) \(\left(\frac{1}{3}\right)^{1-x} = 2\);
\(\log_3 3^{x-1} = \log_3 2\);
\(x — 1 = \log_3 2\);
\(x = \log_3 2 + 1\);

6) \(0,3^{3x+2} = 7\); \(\log_{0,3} 0,3^{3x+2} = \log_{0,3} 7\);
\(3x + 2 = \log_{0,3} 7\);
\(3x = \log_{0,3} 7 — 2\);
\(x = \frac{1}{3} \log_{0,3} 7 — \frac{2}{3}\).

1) Рассмотрим уравнение \(6^x = 2\). Применим логарифм по основанию 6 к обеим сторонам:

\(
\log_6(6^x) = \log_6(2)
\)

Свойство логарифмов \(\log_a(a^b) = b\) позволяет упростить левую часть:

\(
x = \log_6(2)
\)

Таким образом, решение уравнения: \(x = \log_6(2)\).

2) Рассмотрим уравнение \(5^x = 10\). Применим логарифм по основанию 5 к обеим сторонам:

\(
\log_5(5^x) = \log_5(10)
\)

Используя свойство \(\log_a(a^b) = b\), упростим левую часть:

\(
x = \log_5(10)
\)

Решение уравнения: \(x = \log_5(10)\).

3) Рассмотрим уравнение \(0,4^x = 9\). Применим логарифм по основанию \(0,4\) к обеим сторонам:

\(
\log_{0,4}(0,4^x) = \log_{0,4}(9)
\)

Упрощаем левую часть, используя свойство \(\log_a(a^b) = b\):

\(
x = \log_{0,4}(9)
\)

Решение уравнения: \(x = \log_{0,4}(9)\).

4) Рассмотрим уравнение \(2^{x-3} = 5\). Применим логарифм по основанию 2 к обеим сторонам:

\(
\log_2(2^{x-3}) = \log_2(5)
\)

Упрощаем левую часть:

\(
x — 3 = \log_2(5)
\)

Добавляем 3 к обеим сторонам:

\(
x = \log_2(5) + 3
\)

Решение уравнения: \(x = \log_2(5) + 3\).

5) Рассмотрим уравнение \(\left(\frac{1}{3}\right)^{1-x} = 2\). Перепишем основание логарифма как \(3^{-(1-x)} = 2\). Применим логарифм по основанию 3 к обеим сторонам:

\(
\log_3(3^{x-1}) = \log_3(2)
\)

Используем свойство \(\log_a(a^b) = b\):

\(
x — 1 = \log_3(2)
\)

Добавляем 1 к обеим сторонам:

\(
x = \log_3(2) + 1
\)

Решение уравнения: \(x = \log_3(2) + 1\).

6) Рассмотрим уравнение \(0,3^{3x+2} = 7\). Применим логарифм по основанию \(0,3\) к обеим сторонам:

\(
\log_{0,3}(0,3^{3x+2}) = \log_{0,3}(7)
\)

Упрощаем левую часть:

\(
3x + 2 = \log_{0,3}(7)
\)

Вычитаем 2 из обеих сторон:

\(
3x = \log_{0,3}(7) — 2
\)

Делим обе стороны на 3:

\(
x = \frac{1}{3} \log_{0,3}(7) — \frac{2}{3}
\)

Решение уравнения: \(x = \frac{1}{3} \log_{0,3}(7) — \frac{2}{3}\).