ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 4.12 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Решите уравнение:

\(
\begin{align*}
1) & \quad 3^x = 2; \\
2) & \quad 10^x = \frac{1}{6}; \\
3) & \quad 7^{x+5} = 9; \\
4) & \quad 0.6^{5x-2} = 20.
\end{align*}
\)

1) \(3^x = 2\);
\(\log_3 3^x = \log_3 2\);
\(x = \log_3 2\);

2) \(10^x = \frac{1}{6}\);
\(\log_{10} 10^x = \log_{10} \frac{1}{6}\);
\(x = \log_{10} \frac{1}{6}\);
\(x = -\lg 6\);

3) \(7^{x+5} = 9\);
\(\log_7 7^{x+5} = \log_7 9\);
\(x + 5 = \log_7 9\);
\(x = \log_7 9 — 5\);

4) \(0,6^{5x-2} = 20\);
\(\log_{0,6} 0,6^{5x-2} = \log_{0,6} 20\);
\(5x — 2 = \log_{0,6} 20\);
\(5x = \log_{0,6} 20 + 2\);
\(x = \frac{1}{5} \log_{0,6} 20 + \frac{2}{5}\).

1) Рассмотрим уравнение \(3^x = 2\).
Применим логарифм по основанию \(3\) к обеим сторонам:
\(\log_3(3^x) = \log_3(2)\).

Используем свойство логарифмов \(\log_a(a^b) = b\):
\(x = \log_3(2)\).

Таким образом, решение уравнения:
\(x = \log_3(2)\).

2) Рассмотрим уравнение \(10^x = \frac{1}{6}\).
Применим десятичный логарифм к обеим сторонам:
\(\log_{10}(10^x) = \log_{10}\left(\frac{1}{6}\right)\).

Используем свойство логарифмов \(\log_a(a^b) = b\):
\(x = \log_{10}\left(\frac{1}{6}\right)\).

Разложим дробь в логарифме:
\(\log_{10}\left(\frac{1}{6}\right) = -\log_{10}(6)\).

Таким образом, решение уравнения:
\(x = -\lg(6)\).

3) Рассмотрим уравнение \(7^{x+5} = 9\).
Применим логарифм по основанию \(7\) к обеим сторонам:
\(\log_7(7^{x+5}) = \log_7(9)\).

Используем свойство логарифмов \(\log_a(a^b) = b\):
\(x + 5 = \log_7(9)\).

Вычтем \(5\) из обеих сторон:
\(x = \log_7(9) — 5\).

Таким образом, решение уравнения:
\(x = \log_7(9) — 5\).

4) Рассмотрим уравнение \(0,6^{5x-2} = 20\).
Применим логарифм по основанию \(0,6\) к обеим сторонам:
\(\log_{0,6}(0,6^{5x-2}) = \log_{0,6}(20)\).

Используем свойство логарифмов \(\log_a(a^b) = b\):
\(5x — 2 = \log_{0,6}(20)\).

Добавим \(2\) к обеим сторонам:
\(5x = \log_{0,6}(20) + 2\).

Разделим обе стороны на \(5\):
\(x = \frac{1}{5}\log_{0,6}(20) + \frac{2}{5}\).

Таким образом, решение уравнения:
\(x = \frac{1}{5}\log_{0,6}(20) + \frac{2}{5}\).