ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 4.13 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Вычислите:

1. \(2^{\log_2 32}\)
2. \(5^{\log_5 0,45}\)
3. \(7^{2 \cdot \log_7 2}\)
4. \(64^{0,5 \cdot \log_2 12}\)
5. \(\left(\frac{1}{3}\right)^{\log_3 6}\)
6. \(6^{1 + \log_6 5}\)
7. \(\left(\frac{2}{3}\right)^{\log_{2/3} 8 — 2}\)
8. \(6^{\log_{1/6} 3}\)

1) \(2^{\log_2 32} = 32\);
Ответ: \(32\).

2) \(5^{\log_5 0,45} = 0,45\);
Ответ: \(0,45\).

3) \(7^{2 \cdot \log_7 2} = 2^2 = 4\);
Ответ: \(4\).

4) \(64^{0,5 \cdot \log_2 12} = 2^{6 \cdot 0,5 \cdot \log_2 12} = 12^3 = 1728\);
Ответ: \(1728\).

5) \(\left(\frac{1}{3}\right)^{\log_3 6} = 3^{-1 \cdot \log_3 6} = 6^{-1} = \frac{1}{6}\);
Ответ: \(\frac{1}{6}\).

6) \(6^{1+\log_6 5} = 6 \cdot 6^{\log_6 5} = 6 \cdot 5 = 30\);
Ответ: \(30\).

7) \(\left(\frac{2}{3}\right)^{\log_2 8 — 2 \cdot \log_2 \frac{3}{2}} = \left(\frac{2}{3}\right)^{\log_2 8} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = 8 \cdot \frac{9}{4} = 18\);
Ответ: \(18\).

8) \(6^{-\log_1 3 6} = 3^{-1} = \frac{1}{3}\);
Ответ: \(\frac{1}{3}\).

1) Выражение \(2^{\log_2 32}\):
Свойство логарифма: если основание степени совпадает с основанием логарифма, то результат равен числу под логарифмом.
\(
2^{\log_2 32} = 32
\)
Ответ: \(32\).

2) Выражение \(5^{\log_5 0,45}\):
Аналогично первому примеру, основание степени совпадает с основанием логарифма.
\(
5^{\log_5 0,45} = 0,45
\)
Ответ: \(0,45\).

3) Выражение \(7^{2 \cdot \log_7 2}\):
Используем свойство логарифмов: \(a^{b \cdot \log_a c} = c^b\).
\(
7^{2 \cdot \log_7 2} = 2^2 = 4
\)
Ответ: \(4\).

4) Выражение \(64^{0,5 \cdot \log_2 12}\):
Представим \(64\) как \(2^6\), затем используем свойство логарифмов:
\(
64^{0,5 \cdot \log_2 12} = (2^6)^{0,5 \cdot \log_2 12} = 2^{6 \cdot 0,5 \cdot \log_2 12} = 2^{3 \cdot \log_2 12} = 12^3 = 1728
\)
Ответ: \(1728\).

5) Выражение \(\left(\frac{1}{3}\right)^{\log_3 6}\):
Используем свойство логарифмов: \(a^{- \log_a b} = b^{-1}\).
\(
\left(\frac{1}{3}\right)^{\log_3 6} = 3^{-1 \cdot \log_3 6} = 6^{-1} = \frac{1}{6}
\)
Ответ: \(\frac{1}{6}\).

6) Выражение \(6^{1 + \log_6 5}\):
Разделим степень на два слагаемых и используем свойства степеней:
\(
6^{1 + \log_6 5} = 6^1 \cdot 6^{\log_6 5} = 6 \cdot 5 = 30
\)
Ответ: \(30\).

7) Выражение \(\left(\frac{2}{3}\right)^{\log_{2/3} 8 — 2}\):
Разделим степень на два слагаемых:
\(
\left(\frac{2}{3}\right)^{\log_{2/3} 8 — 2} = \left(\frac{2}{3}\right)^{\log_{2/3} 8} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{-2}
\)
Первое слагаемое даёт \(8\), так как основание степени совпадает с основанием логарифма:
\(
\left(\frac{2}{3}\right)^{\log_{2/3} 8} = 8
\)
Второе слагаемое:
\(
\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}
\)
Умножаем результаты:
\(
8 \cdot \frac{9}{4} = 18
\)
Ответ: \(18\).

8) Выражение \(6^{\log_{1/6} 3}\):
Используем свойство логарифмов: \(a^{\log_{b} c} = c^{\log_{b} a}\).
\(
6^{\log_{1/6} 3} = 3^{\log_{1/6} 6}
\)
Так как \(\log_{1/6} 6 = -1\):
\(
3^{-1} = \frac{1}{3}
\)
Ответ: \(\frac{1}{3}\).