ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 4.14 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Вычислите:

1. \( 3^{\log_3 \frac{1}{27}} \)
2. \( 5^{\frac{1}{2} \cdot \log_5 49} \)
3. \( 4^{\log_2 9} \)
4. \( \left(\frac{1}{9}\right)^{-2 \cdot \log_3 12} \)
5. \( 10^{2 + \lg 8} \)
6. \( \left(\frac{1}{2}\right)^{\log_{\frac{1}{2}} 6 — 3} \)

1) \( 3^{\log_3 27} = \frac{1}{27} \);
Ответ: \(\frac{1}{27}\).

2) \( 5^{\frac{1}{2} \cdot \log_5 49} = 49^{\frac{1}{2}} = 7 \);
Ответ: \(7\).

3) \( 4^{\log_2 9} = 2^{2 \cdot \log_2 9} = 9^2 = 81 \);
Ответ: \(81\).

4) \( \left(\frac{1}{9}\right)^{-2 \cdot \log_3 12} = 3^{-2 \cdot (-2 \cdot \log_3 12)} = 12^4 = 20 \, 736 \);
Ответ: \(20 \, 736\).

5) \( 10^{2 + \log_8} = 10^2 \cdot 10^{\log_8} = 100 \cdot 8 = 800 \);
Ответ: \(800\).

6) \( \left(\frac{1}{2}\right)^{\log_1 6 — 3} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\log_1 6} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 6 \cdot 8 = 48 \);
Ответ: \(48\).

1) \( 3^{\log_3 \frac{1}{27}} \):
Используем свойство логарифма: \( a^{\log_a x} = x \).
В данном случае \( x = \frac{1}{27} \), поэтому:
\( 3^{\log_3 \frac{1}{27}} = \frac{1}{27} \).
Ответ: \( \frac{1}{27} \).

2) \( 5^{\frac{1}{2} \cdot \log_5 49} \):
Сначала преобразуем показатель степени:
\( 5^{\frac{1}{2} \cdot \log_5 49} = \left(5^{\log_5 49}\right)^{\frac{1}{2}} \).
Свойство \( a^{\log_a x} = x \) даёт:
\( 5^{\log_5 49} = 49 \).
Следовательно:
\( \left(5^{\log_5 49}\right)^{\frac{1}{2}} = 49^{\frac{1}{2}} = 7 \).
Ответ: \( 7 \).

3) \( 4^{\log_2 9} \):
Представим основание \( 4 \) как \( 2^2 \):
\( 4^{\log_2 9} = \left(2^2\right)^{\log_2 9} = 2^{2 \cdot \log_2 9} \).
Теперь используем свойство логарифма:
\( 2^{2 \cdot \log_2 9} = \left(2^{\log_2 9}\right)^2 \).
Свойство \( a^{\log_a x} = x \) даёт:
\( 2^{\log_2 9} = 9 \).
Следовательно:
\( \left(2^{\log_2 9}\right)^2 = 9^2 = 81 \).
Ответ: \( 81 \).

4) \( \left(\frac{1}{9}\right)^{-2 \cdot \log_3 12} \):
Представим \( \frac{1}{9} \) как \( 3^{-2} \):
\( \left(\frac{1}{9}\right)^{-2 \cdot \log_3 12} = \left(3^{-2}\right)^{-2 \cdot \log_3 12} = 3^{-2 \cdot (-2 \cdot \log_3 12)} \).
Упростим показатель степени:
\( -2 \cdot (-2 \cdot \log_3 12) = 4 \cdot \log_3 12 \).
Таким образом:
\( 3^{4 \cdot \log_3 12} = \left(3^{\log_3 12}\right)^4 \).
Свойство \( a^{\log_a x} = x \) даёт:
\( 3^{\log_3 12} = 12 \).
Следовательно:
\( \left(3^{\log_3 12}\right)^4 = 12^4 = 20 \, 736 \).
Ответ: \( 20 \, 736 \).

5) \( 10^{2 + \lg 8} \):
Разделим степень на два слагаемых:
\( 10^{2 + \lg 8} = 10^2 \cdot 10^{\lg 8} \).
Вычислим каждую часть отдельно:
\( 10^2 = 100 \).
Свойство \( 10^{\lg x} = x \) даёт:
\( 10^{\lg 8} = 8 \).
Следовательно:
\( 10^{2 + \lg 8} = 100 \cdot 8 = 800 \).
Ответ: \( 800 \).

6) \( \left(\frac{1}{2}\right)^{\log_{\frac{1}{2}} 6 — 3} \):
Разделим степень на два слагаемых:
\( \left(\frac{1}{2}\right)^{\log_{\frac{1}{2}} 6 — 3} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\log_{\frac{1}{2}} 6} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} \).
Свойство \( a^{\log_a x} = x \) даёт:
\( \left(\frac{1}{2}\right)^{\log_{\frac{1}{2}} 6} = 6 \).
Вторую часть можно упростить:
\( \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 2^3 = 8 \).
Следовательно:
\( \left(\frac{1}{2}\right)^{\log_{\frac{1}{2}} 6 — 3} = 6 \cdot 8 = 48 \).
Ответ: \( 48 \).