ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 4.15 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:

1) \( \log_6 3 + \log_6 2 \)
2) \( \log_5 100 — \log_5 4 \)
3) \( \log_{49} 84 — \log_{49} 12 \)
4) \( \log_2 5 — \log_2 35 + \log_2 56 \)
5) \( \frac{\log_5 64}{\log_5 4} \)
6) \( 2 \lg 5 + \frac{1}{2} \lg 16 \)

1) \( \log_6 3 + \log_6 2 = \log_6(3 \cdot 2) = \log_6 6 = 1 \);
Ответ: \( 1 \).

2) \( \log_5 100 — \log_5 4 = \log_5 \frac{100}{4} = \log_5 25 = 2 \);
Ответ: \( 2 \).

3) \( \log_{49} 84 — \log_{49} 12 = \log_{49} \frac{84}{12} = \log_{49} 7 = \frac{1}{2} \);
Ответ: \( \frac{1}{2} \).

4) \( \log_2 5 — \log_2 35 + \log_2 56 = \log_2 \frac{5 \cdot 56}{35} = \log_2 8 = 3 \);
Ответ: \( 3 \).

5) \( \frac{\log_5 64}{\log_5 4} = \log_4 64 = \log_4 4^3 = 3 \);
Ответ: \( 3 \).

6) \( 2 \lg 5 + 5 \lg 16 = \lg 25 + \lg 4 = \lg(25 \cdot 4) = \lg 100 = 2 \);
Ответ: \( 2 \).

1)
Сложение логарифмов с одинаковым основанием преобразуется в логарифм произведения:
\(
\log_6 3 + \log_6 2 = \log_6 (3 \cdot 2).
\)
В данном случае \( 3 \cdot 2 = 6 \), поэтому:
\(
\log_6 (3 \cdot 2) = \log_6 6.
\)
Логарифм числа, равного основанию, равен \( 1 \):
\(
\log_6 6 = 1.
\)
Ответ: \( 1 \).

2)
Разность логарифмов с одинаковым основанием преобразуется в логарифм частного:
\(
\log_5 100 — \log_5 4 = \log_5 \left( \frac{100}{4} \right).
\)
В данном случае \( \frac{100}{4} = 25 \), поэтому:
\(
\log_5 \left( \frac{100}{4} \right) = \log_5 25.
\)
Число \( 25 \) можно представить как \( 5^2 \), следовательно:
\(
\log_5 25 = 2.
\)
Ответ: \( 2 \).

3)
Разность логарифмов с одинаковым основанием преобразуется в логарифм частного:
\(
\log_{49} 84 — \log_{49} 12 = \log_{49} \left( \frac{84}{12} \right).
\)
В данном случае \( \frac{84}{12} = 7 \), поэтому:
\(
\log_{49} \left( \frac{84}{12} \right) = \log_{49} 7.
\)
Число \( 7 \) можно представить как \( 49^{1/2} \), следовательно:
\(
\log_{49} 7 = \frac{1}{2}.
\)
Ответ: \( \frac{1}{2} \).

4)
Сначала преобразуем выражение, используя свойства логарифмов:
\(
\log_2 5 — \log_2 35 + \log_2 56 = \log_2 \left( \frac{5 \cdot 56}{35} \right).
\)
В данном случае \( \frac{5 \cdot 56}{35} = 8 \), поэтому:
\(
\log_2 \left( \frac{5 \cdot 56}{35} \right) = \log_2 8.
\)
Число \( 8 \) можно представить как \( 2^3 \), следовательно:
\(
\log_2 8 = 3.
\)
Ответ: \( 3 \).

5)
Отношение логарифмов с одинаковым основанием преобразуется в логарифм с новым основанием:
\(
\frac{\log_5 64}{\log_5 4} = \log_4 64.
\)
Число \( 64 \) можно представить как \( 4^3 \), следовательно:
\(
\log_4 64 = \log_4 \left( 4^3 \right).
\)
Логарифм степени числа равен показателю степени, поэтому:
\(
\log_4 \left( 4^3 \right) = 3.
\)
Ответ: \( 3 \).

6)
Сначала преобразуем каждое слагаемое:
\(
2 \lg 5 = \lg (5^2), \quad \frac{1}{2} \lg 16 = \lg (\sqrt{16}).
\)
Подставляем преобразования в исходное выражение:
\(
2 \lg 5 + \frac{1}{2} \lg 16 = \lg (5^2) + \lg (\sqrt{16}).
\)
В данном случае \( 5^2 = 25 \), \( \sqrt{16} = 4 \), поэтому:
\(
\lg (5^2) + \lg (\sqrt{16}) = \lg 25 + \lg 4.
\)
Сложение логарифмов преобразуется в логарифм произведения:
\(
\lg 25 + \lg 4 = \lg (25 \cdot 4).
\)
В данном случае \( 25 \cdot 4 = 100 \), поэтому:
\(
\lg (25 \cdot 4) = \lg 100.
\)
Число \( 100 \) можно представить как \( 10^2 \), следовательно:
\(
\lg 100 = 2.
\)
Ответ: \( 2 \).