ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 4.16 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:

1) \(\lg 8 + \lg 12,5\)
2) \(\log_3 162 — \log_3 2\)
3) \(\frac{\log_7 125}{\log_7 5}\)
4) \(3 \log_6 2 + \frac{3}{4} \log_6 81\)

1) \(\lg 8 + \lg 12,5 = \lg(8 \cdot 12,5) = \lg 100 = 2\);
Ответ: 2.

2) \(\log_3 162 — \log_3 2 = \log_3 \frac{162}{2} = \log_3 81 = 4\);
Ответ: 4.

3) \(\frac{\log_7 125}{\log_7 5} = \log_5 125 = \log_5 5^3 = 3\);
Ответ: 3.

4) \(3 \log_6 2 + \frac{3}{4} \log_6 81 = \log_6 8 + \log_6 27 = \log_6 216 = 3\);
Ответ: 3.

1)

\(
\lg 8 + \lg 12,5 = \lg(8 \cdot 12,5) = \lg 100 = 2
\)

Сначала используется свойство логарифма: \(\lg a + \lg b = \lg(a \cdot b)\).
Затем вычисляется произведение \(8 \cdot 12,5 = 100\).
Логарифм десяти по основанию десятичного логарифма равен 2, так как \(\lg 100 = 2\).

Ответ: 2.

2)

\(
\log_3 162 — \log_3 2 = \log_3 \left(\frac{162}{2}\right) = \log_3 81 = 4
\)

Используется свойство логарифма: \(\log_a b — \log_a c = \log_a \left(\frac{b}{c}\right)\).
Затем выполняется деление \(162 / 2 = 81\).
Логарифм числа 81 по основанию 3 равен 4, так как \(3^4 = 81\).

Ответ: 4.

3)

\(
\frac{\log_7 125}{\log_7 5} = \log_5 125 = \log_5 \left(5^3\right) = 3
\)

Используется формула перехода к новому основанию: \(\frac{\log_a b}{\log_a c} = \log_c b\).
После перехода основания логарифм становится \(\log_5 125\).
Число 125 представляется как степень основания: \(125 = 5^3\).
Свойство логарифма \(\log_a \left(a^n\right) = n\) даёт результат \(3\).

Ответ: 3.

4)

\(
3 \log_6 2 + \frac{3}{4} \log_6 81 = \log_6 \left(2^3\right) + \log_6 \left(81^{\frac{3}{4}}\right) = \log_6 8 + \log_6 27 =
\)
\(
= \log_6 \left(8 \cdot 27\right) = \log_6 216 = 3
\)

Сначала используется свойство логарифма: \(n \log_a b = \log_a \left(b^n\right)\).
Число \(2^3\) вычисляется как \(8\), а \(81^{\frac{3}{4}}\) вычисляется как \(27\).
Далее применяется свойство логарифма: \(\log_a b + \log_a c = \log_a \left(b \cdot c\right)\).
Выполняется произведение \(8 \cdot 27 = 216\).
Логарифм числа 216 по основанию 6 равен 3, так как \(6^3 = 216\).

Ответ: 3.