ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 4.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1) Представить число \(3\) в виде степени числа \(8\).
2) Представить число \(6^{\frac{1}{3}}\) в виде степени числа \(\frac{1}{2}\).

1) Число 3 в виде степени числа 8: \(3 = 8^{\log_8 3}\);
2) Число \(\sqrt[3]{6}\) в виде степени числа \(\frac{1}{2}\):
\(
\sqrt[3]{6} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\log_{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{6}};
\)

1) Для представления числа 3 в виде степени числа 8 используется свойство логарифма, которое позволяет выразить любое положительное число \(a\) как степень числа \(b\):
\(
a = b^{\log_b(a)}
\)
В данном случае \(a = 3\) и \(b = 8\). Подставляем значения:
\(
3 = 8^{\log_8(3)}
\)
Таким образом, число 3 представлено в виде степени числа 8, где показатель степени равен \(\log_8(3)\), то есть логарифму числа 3 по основанию 8.

2) Для представления числа \(\sqrt[3]{6}\) в виде степени числа \(\frac{1}{2}\) используется то же свойство логарифма:
\(
a = b^{\log_b(a)}
\)
В данном случае \(a = \sqrt[3]{6}\) и \(b = \frac{1}{2}\). Подставляем значения:
\(
\sqrt[3]{6} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\log_{\frac{1}{2}}(\sqrt[3]{6})}
\)
Показатель степени равен \(\log_{\frac{1}{2}}(\sqrt[3]{6})\), то есть логарифму числа \(\sqrt[3]{6}\) по основанию \(\frac{1}{2}\).

Поскольку \(\sqrt[3]{6}\) можно записать как \(6^{\frac{1}{3}}\), показатель степени можно выразить через логарифм:
\(
\log_{\frac{1}{2}}(6^{\frac{1}{3}}) = \frac{1}{3} \cdot \log_{\frac{1}{2}}(6)
\)
Тогда окончательная запись:
\(
\sqrt[3]{6} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3} \cdot \log_{\frac{1}{2}}(6)}
\)
Таким образом, число \(\sqrt[3]{6}\) представлено в виде степени числа \(\frac{1}{2}\), где показатель степени равен \(\frac{1}{3} \cdot \log_{\frac{1}{2}}(6)\).