ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 4.22 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Вычислите

1) \(2^{4\log_2 3 — 1}\)
2) \(\left(\frac{1}{5}\right)^{\log_{25} 9 + 2}\)
3) \(8^{1 — \frac{1}{3} \log_2 12}\)
4) \(6^{\frac{1}{2} \log_6 9 — \log_{1/6} 3}\)
5) \(12^{\log_{144} 4 + \log_{12} 5}\)
6) \(1000^{\frac{1}{2} \lg 25 — 3 \lg 2}\)
7) \(\log_{13} \left(100^{\frac{1}{\log_7 10}} + 2^{\log_2 15 + 3}\right)\)
8) \(5^{\log_5 4 \cdot \log_2 3}\)

1) \(2^{4\log_2 3 — 1} = 3^4 \cdot 2^{-1} = \frac{81}{2} = 40,5;\)
Ответ: \(40,5.\)

2) \(\left(\frac{1}{5}\right)^{\log_{25} 9 + 2} = 25^{-\frac{1}{2}\log_{25} 9} \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^2 = 9^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{25} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{25} = \frac{1}{75};\)
Ответ: \(\frac{1}{75}.\)

3) \(8^{1 — \frac{1}{3}\log_2 12} = 8 \cdot 2^{3(-\frac{1}{3})\log_2 12} = 8 \cdot 12^{-1} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3};\)
Ответ: \(\frac{2}{3}.\)

4) \(6^{\frac{1}{2}\lg 9 — \lg 6} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^{\lg 3} = 9^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{-1} \cdot 3^{-1} = 92 \cdot 3^{-1} \cdot 3^{-1} = 9;\)
Ответ: \(9.\)

5) \(12^{\log_{144} 4 + \log_{12} 5} = 144^{\frac{1}{2}} \cdot 12^{\log_{144} 4} \cdot 12^{\log_{12} 5} = 42 \cdot 5 = 2 \cdot 5 = 10;\)
Ответ: \(10.\)

6) \(1000^{\frac{1}{2} \lg 25 — 3 \lg 2} = 10^{3 \cdot \frac{1}{2} \lg 25} \cdot 10^{3 \cdot (-3) \cdot \lg 2} = 25^{\frac{3}{2}} \cdot 2^{-9} = \frac{125}{512};\)
Ответ: \(\frac{125}{512}.\)

7) \(\log_{13} \left(100^{\frac{1}{7} \log_{7} 10} + 2 \log_{2} 15 + 3\right) = \log_{13} \left(10^{2 \cdot \lg 7} + 2 \cdot \log_{2} 15 \cdot 2^3\right) =\)
\(= \log_{13} (72 + 15 \cdot 8) = \log_{13} (49 + 120) = \log_{13} 169 = 2;\)
Ответ: \(2.\)

8) \(5^{\log_{5} 4 \cdot \log_{2} 3} = 4^{\log_{2} 3} = 2^{2 \cdot \log_{2} 3} = 3^2 = 9;\)
Ответ: \(9.\)

1) Рассмотрим выражение \(2^{4\log_2 3 — 1}\).
Применим свойства логарифмов и степеней:
\(
2^{4\log_2 3 — 1} = 2^{4\log_2 3} \cdot 2^{-1}.
\)
Теперь преобразуем \(2^{4\log_2 3}\):
\(
2^{4\log_2 3} = (2^{\log_2 3})^4 = 3^4.
\)
Следовательно,
\(
2^{4\log_2 3 — 1} = 3^4 \cdot 2^{-1} = \frac{81}{2} = 40,5.
\)
Ответ: \(40,5\).

2) Рассмотрим выражение \(\left(\frac{1}{5}\right)^{\log_{25} 9 + 2}\).
Разделим степень на две части:
\(
\left(\frac{1}{5}\right)^{\log_{25} 9 + 2} = \left(\frac{1}{5}\right)^{\log_{25} 9} \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^2.
\)
Преобразуем первую часть, используя замену основания логарифма:
\(
\left(\frac{1}{5}\right)^{\log_{25} 9} = 25^{-\frac{1}{2}\log_{25} 9}.
\)
Теперь преобразуем \(25^{-\frac{1}{2}\log_{25} 9}\):
\(
25^{-\frac{1}{2}\log_{25} 9} = 9^{-\frac{1}{2}}.
\)
Следовательно,
\(
\left(\frac{1}{5}\right)^{\log_{25} 9 + 2} = 9^{-\frac{1}{2}} \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^2 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{25} = \frac{1}{75}.
\)
Ответ: \(\frac{1}{75}\).

3) Рассмотрим выражение \(8^{1 — \frac{1}{3}\log_2 12}\).
Разделим степень на две части:
\(
8^{1 — \frac{1}{3}\log_2 12} = 8 \cdot 8^{-\frac{1}{3}\log_2 12}.
\)
Преобразуем \(8^{-\frac{1}{3}\log_2 12}\) как \(2^{3(-\frac{1}{3})\log_2 12}\):
\(
8^{-\frac{1}{3}\log_2 12} = 2^{3(-\frac{1}{3})\log_2 12} = 2^{-\log_2 12}.
\)
Теперь преобразуем \(2^{-\log_2 12}\):
\(
2^{-\log_2 12} = 12^{-1}.
\)
Следовательно,
\(
8^{1 — \frac{1}{3}\log_2 12} = 8 \cdot 12^{-1} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}.
\)
Ответ: \(\frac{2}{3}\).

4) Рассмотрим выражение \(6^{\frac{1}{2}\lg 9 — \lg 6} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^{\lg 3}\).
Разделим на две части:
\(
6^{\frac{1}{2}\lg 9 — \lg 6} = 6^{\frac{1}{2}\lg 9} \cdot 6^{-\lg 6}.
\)
Преобразуем первую часть:
\(
6^{\frac{1}{2}\lg 9} = 9^{\frac{1}{2}}.
\)
Преобразуем вторую часть:
\(
6^{-\lg 6} = 6^{-1}.
\)
Теперь рассмотрим второе выражение:
\(
\left(\frac{1}{6}\right)^{\lg 3} = 6^{-\lg 3}.
\)
Объединим всё:
\(
6^{\frac{1}{2}\lg 9 — \lg 6} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^{\lg 3} = 9^{\frac{1}{2}} \cdot 6^{-1} \cdot 6^{-\lg 3}.
\)
Преобразуем \(6^{-\lg 3}\):
\(
6^{-\lg 3} = 3^{-1}.
\)
Следовательно,
\(
9^{\frac{1}{2}} \cdot 6^{-1} \cdot 3^{-1} = 9 \cdot 3^{-1} \cdot 3^{-1} = 9.
\)
Ответ: \(9\).

5) Рассмотрим выражение \(12^{\log_{144} 4 + \log_{12} 5}\).
Разделим на две части:
\(
12^{\log_{144} 4 + \log_{12} 5} = 12^{\log_{144} 4} \cdot 12^{\log_{12} 5}.
\)
Преобразуем первую часть:
\(
12^{\log_{144} 4} = 144^{\frac{1}{2}} = 12^2.
\)
Преобразуем вторую часть:
\(
12^{\log_{12} 5} = 5.
\)
Следовательно,
\(
12^{\log_{144} 4 + \log_{12} 5} = 12^2 \cdot 5 = 144 \cdot 5 = 10.
\)
Ответ: \(10\).

6) Рассмотрим выражение \(1000^{\frac{1}{2} \lg 25 — 3 \lg 2}\).
Разделим на две части:
\(
1000^{\frac{1}{2} \lg 25 — 3 \lg 2} = 1000^{\frac{1}{2} \lg 25} \cdot 1000^{-3 \lg 2}.
\)
Преобразуем первую часть:
\(
1000^{\frac{1}{2} \lg 25} = 10^{3 \cdot \frac{1}{2} \lg 25} = 25^{\frac{3}{2}}.
\)
Преобразуем вторую часть:
\(
1000^{-3 \lg 2} = 10^{3 \cdot (-3) \cdot \lg 2} = 2^{-9}.
\)
Следовательно,
\(
1000^{\frac{1}{2} \lg 25 — 3 \lg 2} = 25^{\frac{3}{2}} \cdot 2^{-9} = \frac{125}{512}.
\)
Ответ: \(\frac{125}{512}\).

7) Рассмотрим выражение \(\log_{13} \left(100^{\frac{1}{7} \log_{7} 10} + 2 \log_{2} 15 + 3\right)\).
Преобразуем первую часть:
\(
100^{\frac{1}{7} \log_{7} 10} = 10^{2 \cdot \lg 7}.
\)
Преобразуем вторую часть:
\(
2 \log_{2} 15 \cdot 2^3 = 2 \cdot 15 \cdot 8 = 120.
\)
Объединим всё:
\(
\log_{13} \left(100^{\frac{1}{7} \log_{7} 10} + 2 \log_{2} 15 + 3\right) = \log_{13} (72 + 120) = \log_{13} 169.
\)
Поскольку \(169 = 13^2\), то
\(
\log_{13} 169 = 2.
\)
Ответ: \(2\).

8) Рассмотрим выражение \(5^{\log_{5} 4 \cdot \log_{2} 3}\).
Преобразуем первую часть:
\(
5^{\log_{5} 4 \cdot \log_{2} 3} = 4^{\log_{2} 3}.
\)
Теперь преобразуем \(4^{\log_{2} 3}\):
\(
4^{\log_{2} 3} = 2^{2 \cdot \log_{2} 3} = 3^2.
\)
Следовательно,
\(
5^{\log_{5} 4 \cdot \log_{2} 3} = 3^2 = 9.
\)
Ответ: \(9\).