ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 4.23 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Вычислите

1) \(\log_2 \log_5 \left(5^{\frac{1}{8}}\right)\)
2) \(\log_{\frac{2}{3}} \log_{49} 343\)
3) \(\log_9 \log_2 8\)
4) \(\log_3 \tan\left(\frac{\pi}{3}\right)\)
5) \(\log_4 \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\)

1) \(\log_2 \log_5 \sqrt[8]{5} = \log_2 \log_5 5^{\frac{1}{8}} = \log_2 \frac{1}{8} = \log_2 2^{-3} = -3\);
Ответ: \(-3\).

2) \(\log_{\frac{2}{3}} \log_{49} 343 = \log_{\frac{2}{3}} \log_{7^2} 7^3 = \log_{\frac{2}{3}} \frac{3}{2} = \log_{\frac{2}{3}} \left(\frac{2}{3}\right)^{-1} = -1\);
Ответ: \(-1\).

3) \(\log_9 \log_2 8 = \log_9 \log_2 2^3 = \log_9 3 = \log_{3^2} 3 = \frac{1}{2}\);
Ответ: \(\frac{1}{2}\).

4) \(\log_3 \tan \frac{\pi}{3} = \log_3 \sqrt{3} = \log_{(1/3)^2} \sqrt{3} = \frac{1}{2}\);
Ответ: \(\frac{1}{2}\).

5) \(\log_4 \sin \frac{\pi}{4} = \log_4 \frac{\sqrt{2}}{2} = \log_4 \frac{1}{\sqrt{2}} = \log_4 2^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{4}\);
Ответ: \(-\frac{1}{4}\).

1) \(\log_2 \log_5 \sqrt[8]{5}\):
Начнем с внутренней части выражения:
\(\sqrt[8]{5} = 5^{\frac{1}{8}}\), так как корень восьмой степени из числа \(5\) можно записать в виде степени \(5^{\frac{1}{8}}\).

Теперь вычислим \(\log_5 \sqrt[8]{5}\):
\(\log_5 \sqrt[8]{5} = \log_5 5^{\frac{1}{8}}\).
Согласно свойству логарифма: \(\log_a a^x = x\), получаем:
\(\log_5 5^{\frac{1}{8}} = \frac{1}{8}\).

Далее вычисляем внешний логарифм:
\(\log_2 \log_5 \sqrt[8]{5} = \log_2 \frac{1}{8}\).
Заметим, что \(\frac{1}{8} = 2^{-3}\), поэтому:
\(\log_2 \frac{1}{8} = \log_2 2^{-3}\).
Согласно свойству логарифма: \(\log_a a^x = x\), получаем:
\(\log_2 2^{-3} = -3\).

Ответ: \(-3\).

2) \(\log_{\frac{2}{3}} \log_{49} 343\):
Начнем с внутренней части выражения. Заметим, что \(343 = 7^3\), а \(49 = 7^2\). Тогда:
\(\log_{49} 343 = \log_{7^2} 7^3\).
Согласно свойству логарифма: \(\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \cdot \log_a b\), получаем:
\(\log_{7^2} 7^3 = \frac{3}{2} \cdot \log_7 7\).
Так как \(\log_7 7 = 1\), то:
\(\log_{7^2} 7^3 = \frac{3}{2}\).

Теперь вычисляем внешний логарифм:
\(\log_{\frac{2}{3}} \log_{49} 343 = \log_{\frac{2}{3}} \frac{3}{2}\).
Заметим, что \(\frac{3}{2} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-1}\), поэтому:
\(\log_{\frac{2}{3}} \frac{3}{2} = \log_{\frac{2}{3}} \left(\frac{2}{3}\right)^{-1}\).
Согласно свойству логарифма: \(\log_a a^{-x} = -x\), получаем:
\(\log_{\frac{2}{3}} \left(\frac{2}{3}\right)^{-1} = -1\).

Ответ: \(-1\).

3) \(\log_9 \log_2 8\):
Начнем с внутренней части выражения. Заметим, что \(8 = 2^3\). Тогда:
\(\log_2 8 = \log_2 2^3\).
Согласно свойству логарифма: \(\log_a a^x = x\), получаем:
\(\log_2 2^3 = 3\).

Теперь вычисляем внешний логарифм:
\(\log_9 \log_2 8 = \log_9 3\).
Заметим, что \(9 = 3^2\). Тогда:
\(\log_9 3 = \log_{3^2} 3\).
Согласно свойству логарифма: \(\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \cdot \log_a b\), получаем:
\(\log_{3^2} 3 = \frac{1}{2} \cdot \log_3 3\).
Так как \(\log_3 3 = 1\), то:
\(\log_{3^2} 3 = \frac{1}{2}\).

Ответ: \(\frac{1}{2}\).

4) \(\log_3 \tan \frac{\pi}{3}\):
Начнем с внутренней части выражения. Из тригонометрии известно, что:
\(\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}\). Тогда:
\(\log_3 \tan \frac{\pi}{3} = \log_3 \sqrt{3}\).

Заметим, что \(\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}\). Тогда:
\(\log_3 \sqrt{3} = \log_3 3^{\frac{1}{2}}\).
Согласно свойству логарифма: \(\log_a a^x = x\), получаем:
\(\log_3 3^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}\).

Ответ: \(\frac{1}{2}\).

5) \(\log_4 \sin \frac{\pi}{4}\):
Начнем с внутренней части выражения. Из тригонометрии известно, что:
\(\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Тогда:
\(\log_4 \sin \frac{\pi}{4} = \log_4 \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Заметим, что \(\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\). Тогда:
\(\log_4 \frac{\sqrt{2}}{2} = \log_4 \frac{1}{\sqrt{2}}\).

Также известно, что \(\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}\). Тогда:
\(\frac{1}{\sqrt{2}} = 2^{-\frac{1}{2}}\), и:
\(\log_4 \frac{1}{\sqrt{2}} = \log_4 2^{-\frac{1}{2}}\).
Согласно свойству логарифма: \(\log_a a^x = x\), получаем:
\(\log_4 2^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{4}\), так как \(4 = 2^2\).

Ответ: \(-\frac{1}{4}\).