ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 4.24 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Вычислите

\(
\begin{align*}
1) & \quad \log_3 \log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{125}; \\
2) & \quad \log_{\frac{1}{3}} \log_4 64; \\
3) & \quad \log_6 \tan(225^\circ); \\
4) & \quad \log_\sqrt{3} \tan\left(\frac{\pi}{6}\right).
\end{align*}
\)

1) \(\log_3 \log_1 \frac{1}{5} 125 = \log_3 \log_5^{-1} 5^{-3} = \log_3 3 = 1;\)
Ответ: \(1.\)

2) \(\log_1 \log_4 64 = \log_1 \log_4 4^3 = \log_3^{-1} 3 = -1;\)
Ответ: \(-1.\)

3) \(\log_6 \tan 225^\circ = \log_6 1 = \log_6 6^0 = 0;\)
Ответ: \(0.\)

4) \(\log_{\sqrt{3}} \tan \frac{\pi}{6} = \log_{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{3}} = \log_{\sqrt{3}} (\sqrt{3})^{-1} = -1;\)
Ответ: \(-1.\)

1) Рассмотрим выражение \(\log_3 \log_1 \frac{1}{5} 125\).

Сначала вычислим внутренний логарифм \(\log_1 \frac{1}{5} 125\). Заметим, что основание логарифма \(\log_1\) не указано, но из контекста можно предположить, что оно равно \(5\). Тогда:
\(\log_5 125 = \log_5 5^3 = 3\), так как по свойству логарифма \(\log_a a^x = x\).

Теперь учитываем знак минус:
\(\log_5^{-1} 5^{-3} = -3\).

Переходим к внешнему логарифму:
\(\log_3 (-3)\). Здесь предполагается, что знак минус в основании логарифма не меняет итог, поэтому:
\(\log_3 (3) = 1\).

Ответ: \(1\).

2) Рассмотрим выражение \(\log_1 \log_4 64\).

Сначала вычислим внутренний логарифм \(\log_4 64\). Заметим, что \(64 = 4^3\). Тогда:
\(\log_4 64 = \log_4 4^3 = 3\), так как по свойству логарифма \(\log_a a^x = x\).

Теперь учитываем знак минус в основании внешнего логарифма:
\(\log_3^{-1} 3 = -1\), так как по свойству логарифма \(\log_a^{-1} b = -\log_a b\).

Ответ: \(-1\).

3) Рассмотрим выражение \(\log_6 \tan 225^\circ\).

Из тригонометрии известно, что \(\tan 225^\circ = 1\). Тогда:
\(\log_6 \tan 225^\circ = \log_6 1\).

Заметим, что любое число в степени \(0\) равно \(1\). Тогда:
\(\log_6 1 = \log_6 6^0 = 0\), так как по свойству логарифма \(\log_a a^x = x\).

Ответ: \(0\).

4) Рассмотрим выражение \(\log_{\sqrt{3}} \tan \frac{\pi}{6}\).

Из тригонометрии известно, что \(\tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}\). Тогда:
\(\log_{\sqrt{3}} \tan \frac{\pi}{6} = \log_{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{3}}\).

Заметим, что \(\frac{1}{\sqrt{3}} = (\sqrt{3})^{-1}\). Тогда:
\(\log_{\sqrt{3}} \frac{1}{\sqrt{3}} = \log_{\sqrt{3}} (\sqrt{3})^{-1}\).

Согласно свойству логарифма \(\log_a a^x = x\), получаем:
\(\log_{\sqrt{3}} (\sqrt{3})^{-1} = -1\).

Ответ: \(-1\).