ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 4.25 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите x, если:

1) \( \log_7 x = 2 \log_7 8 — 4 \log_7 2 \)

2) \( \lg x = 2 + \lg 3 — \lg 5 \)

3) \( \log_3 x = \frac{2}{3} \log_3 216 + \frac{1}{2} \log_3 25 \)

4) \( \lg x = \frac{2}{3} \lg 32 — \frac{1}{3} \lg 128 + 1 \)

5) \( \log_2 x = 3 \log_5 — 2 \log_2 25 — \lg 10 \)

1) \(\log_7 x = 2 \log_7 8 — 4 \log_7 2;\)
\(\log_7 x = \log_7 (8^2 : 2^4);\)
\(x = 64 : 16 = 4;\)
Ответ: \(4.\)

2) \(\lg x = 2 + \lg 3 — \lg 5;\)
\(\lg x = \lg (10^2 \cdot 3 : 5);\)
\(x = 100 \cdot \frac{3}{5} = 60;\)
Ответ: \(60.\)

3) \(\log_3 x = \frac{2}{3} \log_3 216 + \frac{1}{2} \log_3 25;\)
\(\log_3 x = \log_3 \left(216^{\frac{2}{3}} \cdot 25^{\frac{1}{2}}\right);\)
\(x = 6^2 \cdot 5 = 36 \cdot 5 = 180;\)
Ответ: \(180.\)

4) \(\lg x = \frac{2}{3} \lg 32 — \frac{1}{3} \lg 128 + 1;\)
\(\lg x = \lg \left(\frac{32^{\frac{2}{3}}}{128^{\frac{1}{3}}} \cdot 10^1\right);\)
\(x = \frac{1024^{\frac{1}{3}}}{128} \cdot 10 = 8^3 \cdot 10 = 20;\)
Ответ: \(20.\)

5) \(\log_2 x = 3 \log_2 5 — 2 \log_2 25 — \lg 10;\)
\(\log_2 x = \log_2 \left(\frac{5^3}{25^2} \cdot 2^{-1}\right);\)
\(\log_2 x = \log_2 \left(\frac{125}{625 \cdot 2}\right);\)
\(\log_2 x = 0.2 : 2 = 0.1;\)
Ответ: \(0.1.\)

1)

Дано:

\(\log_7 x = 2 \log_7 8 — 4 \log_7 2\)

Применяем свойства логарифмов:

\(\log_7 x = \log_7 (8^2) — \log_7 (2^4)\)

Объединяем логарифмы:

\(\log_7 x = \log_7 \left(\frac{8^2}{2^4}\right)\)

Вычисляем выражение под логарифмом:

\(8^2 = 64, \, 2^4 = 16\)

\(\frac{64}{16} = 4\)

Получаем:

\(\log_7 x = \log_7 4 \, \Rightarrow \, x = 4\)

Ответ: \(4\)

2)

Дано:

\(\lg x = 2 + \lg 3 — \lg 5\)

Применяем свойства логарифмов:

\(\lg x = \lg (10^2) + \lg 3 — \lg 5\)

Объединяем логарифмы:

\(\lg x = \lg \left(\frac{10^2 \cdot 3}{5}\right)\)

Вычисляем выражение под логарифмом:

\(10^2 = 100, \, \frac{100 \cdot 3}{5} = 60\)

Получаем:

\(\lg x = \lg 60 \, \Rightarrow \, x = 60\)

Ответ: \(60\)

3)

Дано:

\(\log_3 x = \frac{2}{3} \log_3 216 + \frac{1}{2} \log_3 25\)

Применяем свойства логарифмов:

\(\log_3 x = \log_3 (216^{\frac{2}{3}}) + \log_3 (25^{\frac{1}{2}})\)

Объединяем логарифмы:

\(\log_3 x = \log_3 \left(216^{\frac{2}{3}} \cdot 25^{\frac{1}{2}}\right)\)

Вычисляем выражение под логарифмом:

\(216^{\frac{2}{3}} = 6^2 = 36, \, 25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5\)

\(36 \cdot 5 = 180\)

Получаем:

\(\log_3 x = \log_3 180 \, \Rightarrow \, x = 180\)

Ответ: \(180\)

4)

Дано:

\(\lg x = \frac{2}{3} \lg 32 — \frac{1}{3} \lg 128 + 1\)

Применяем свойства логарифмов:

\(\lg x = \lg (32^{\frac{2}{3}}) — \lg (128^{\frac{1}{3}}) + \lg (10^1)\)

Объединяем логарифмы:

\(\lg x = \lg \left(\frac{32^{\frac{2}{3}}}{128^{\frac{1}{3}}} \cdot 10^1\right)\)

Вычисляем выражение под логарифмом:

\(32^{\frac{2}{3}} = (2^5)^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{10}{3}}, \, 128^{\frac{1}{3}} = (2^7)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{7}{3}}\)

\(\frac{32^{\frac{2}{3}}}{128^{\frac{1}{3}}} = \frac{2^{\frac{10}{3}}}{2^{\frac{7}{3}}} = 2^{\frac{3}{3}} = 2^1 = 2\)

\(\frac{1024^{\frac{1}{3}}}{128} \cdot 10 = 8 \cdot 10 = 20\)

Получаем:

\(\lg x = \lg 20 \, \Rightarrow \, x = 20\)

Ответ: \(20\)

5)

Дано:

\(\log_2 x = 3 \log_2 5 — 2 \log_2 25 — \lg 10\)

Применяем свойства логарифмов:

\(\log_2 x = \log_2 (5^3) — \log_2 (25^2) — \log_2 (10)\)

Объединяем логарифмы:

\(\log_2 x = \log_2 \left(\frac{5^3}{25^2 \cdot 2}\right)\)

Вычисляем выражение под логарифмом:

\(5^3 = 125, \, 25^2 = 625, \, \frac{125}{625 \cdot 2} = \frac{125}{1250} = 0.1\)

Получаем:

\(\log_2 x = \log_2 0.1 \, \Rightarrow \, x = 0.1\)

Ответ: \(0.1\)