ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 4.26 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Найдите x, если:

1) \(\log_a x = 3 \log_a 2 + 2 \log_a 3\)

2) \(\log_a x = \frac{1}{4} \log_a 16 + 3 \log_a 0.5\)

3) \(\lg x = \frac{2}{5} \lg 32 — \frac{1}{3} \lg 64 + 1\)

1) \(\log_a x = 3 \log_a 2 + 2 \log_a 3;\)
\(\log_a x = \log_a (2^3 \cdot 3^2);\)
\(x = 8 \cdot 9 = 72;\)
Ответ: \(72.\)

2) \(\log_a x = \frac{1}{4} \log_a 16 + 3 \log_a 0,5;\)
\(\log_a x = \log_a \left(16^{\frac{1}{4}} \cdot 0,5^3\right);\)
\(x = 2 \cdot 0,125 = 0,25;\)
Ответ: \(0,25.\)

3) \(\lg x = \frac{2}{5} \lg 32 — \frac{1}{3} \lg 64 + 1;\)
\(\lg x = \lg \left(\frac{32^{\frac{2}{5}}}{64^{\frac{1}{3}}} \cdot 10^1\right);\)
\(x = 2^2 \cdot 4 \cdot 10 = 10;\)
Ответ: \(10.\)

1) Уравнение: \( \log_a x = 3 \log_a 2 + 2 \log_a 3 \)

Сначала применим свойства логарифмов. Мы можем использовать закон логарифмов, который гласит, что \( k \log_a b = \log_a (b^k) \). Применим это к каждому члену:

\(
\log_a x = \log_a (2^3) + \log_a (3^2)
\)

Теперь, используя еще одно свойство логарифмов, которое позволяет складывать логарифмы с одинаковым основанием:

\(
\log_a x = \log_a (2^3 \cdot 3^2)
\)

Подставим значения:

\(
\log_a x = \log_a (8 \cdot 9)
\)

Теперь мы можем приравнять аргументы логарифмов, так как логарифмы равны:

\(
x = 8 \cdot 9 = 72
\)

Ответ: \( 72 \)

2) Уравнение: \( \log_a x = \frac{1}{4} \log_a 16 + 3 \log_a 0,5 \)

Сначала применим свойства логарифмов:

\(
\log_a x = \log_a (16^{\frac{1}{4}}) + \log_a (0,5^3)
\)

Теперь объединим логарифмы:

\(
\log_a x = \log_a \left(16^{\frac{1}{4}} \cdot 0,5^3\right)
\)

Теперь подставим значения:

\(
16^{\frac{1}{4}} = 2 \quad \text{и} \quad 0,5^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}
\)

Таким образом, мы имеем:

\(
\log_a x = \log_a \left(2 \cdot 0,125\right)
\)

Где \( 0,125 = \frac{1}{8} \):

\(
\log_a x = \log_a (2 \cdot 0,125) = \log_a (0,25)
\)

Приравниваем аргументы:

\(
x = 0,25
\)

Ответ: \( 0,25 \)

3) Уравнение: \( \lg x = \frac{2}{5} \lg 32 — \frac{1}{3} \lg 64 + 1 \)

Сначала применим свойства логарифмов:

\(
\lg x = \lg (32^{\frac{2}{5}}) — \lg (64^{\frac{1}{3}}) + \lg 10
\)

Теперь объединим логарифмы:

\(
\lg x = \lg \left(\frac{32^{\frac{2}{5}}}{64^{\frac{1}{3}}} \cdot 10\right)
\)

Теперь подставим значения:

\(
32 = 2^5 \quad \text{и} \quad 64 = 2^6
\)

Подставим в уравнение:

\(
\lg x = \lg \left(\frac{(2^5)^{\frac{2}{5}}}{(2^6)^{\frac{1}{3}}} \cdot 10\right)
\)

Упростим выражение:

\(
\lg x = \lg \left(\frac{2^2}{2^2} \cdot 10\right) = \lg (10)
\)

Приравниваем аргументы:

\(
x = 10
\)

Ответ: \( 10 \)