ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 4.27 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

1. Вычислить значение выражения:

\(
\frac{\log_7 27 — 2\log_7 3}{\log_7 45 + \log_7 0.2}
\)

2.

\(
\frac{\log_9 125 + 3\log_9 2}{\log_9 1.2 — \log_9 12}
\)

1)
\(
\log_7 27 — 2 \log_7 3 = \log_7(27 : 3^2) = \log_7(45 : 0,2) = \log_7(45 \cdot 0,2) =
\)
\(
= \log_7 9 = \log_9 3 = \log_{3^2} 3 = \frac{1}{2} = 0,5;
\)
Ответ: 0,5.

2)
\(
\log_9 125 + 3 \log_9 2 = \log_9(125 \cdot 2^3) = \log_9(1,2 \cdot 12) = \log_9(1,2 : 12) =
\)
\(
= \log_9 1000 = \log_9 0,1 = \log_{0,1} 10^3 = \log_{10^{-1}} 10^3 = -3;
\)
Ответ: -3.

1) Рассмотрим первое выражение:

\(
\log_7 27 — 2 \log_7 3
\)

Сначала применим свойство логарифмов, что \( a \log_b c = \log_b(c^a) \):

\(
= \log_7 27 — \log_7(3^2)
\)

Теперь используем свойство логарифмов \( \log_b a — \log_b c = \log_b\left(\frac{a}{c}\right) \):

\(
= \log_7\left(\frac{27}{3^2}\right) = \log_7\left(\frac{27}{9}\right) = \log_7 3
\)

Теперь рассмотрим знаменатель:

\(
\log_7 45 + \log_7 0.2
\)

Используем свойство логарифмов \( \log_b a + \log_b c = \log_b(ac) \):

\(
= \log_7(45 \cdot 0.2) = \log_7(9)
\)

Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:

\(
\frac{\log_7 3}{\log_7 9}
\)

Используем свойство изменения основания логарифма:

\(
= \frac{\log_9 3}{1}
\)

Теперь заметим, что \( \log_{3^2} 3 = \frac{1}{2} \):

\(
= 0.5
\)

Ответ: 0.5.

2) Теперь рассмотрим второе выражение:

\(
\log_9 125 + 3 \log_9 2
\)

Применим свойство логарифмов:

\(
= \log_9 125 + \log_9(2^3)
\)

Сложим логарифмы:

\(
= \log_9(125 \cdot 8) = \log_9(1000)
\)

Теперь рассмотрим знаменатель:

\(
\log_9 1.2 — \log_9 12
\)

Используем свойство логарифмов:

\(
= \log_9\left(\frac{1.2}{12}\right) = \log_9(0.1)
\)

Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:

\(
\frac{\log_9(1000)}{\log_9(0.1)}
\)

Заменим логарифмы на основание 10:

\(
= \frac{\log_{10} 1000 / \log_{10} 9}{\log_{10} 0.1 / \log_{10} 9}
\)

Сократим \( \log_{10} 9 \):

\(
= \frac{\log_{10} 1000}{\log_{10} 0.1}
\)

Зная, что \( \log_{10} 1000 = 3 \) и \( \log_{10} 0.1 = -1 \):

\(
= \frac{3}{-1} = -3
\)

Ответ: -3.