ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 4.28 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Найдите значение выражения:}
\)

1)
\(
\frac{3 \lg 4 + \lg 0.5}{\lg 9 — \lg 18}
\)

2)
\(
\frac{\lg 625 — 8 \lg 2}{\frac{1}{2} \lg 256 — 2 \lg 5}
\)

1)
\(
3 \lg 4 + \lg 0,5 = \lg(4^3 \cdot 0,5) = \frac{\lg 9 — \lg 18}{\lg(9 : 18)} = \lg 32 = \log_1 32 = \log_{2^{-1}} 2^5 = -5;
\)
Ответ: -5.

2)
\(
\lg 625 — 8 \lg 2 = \lg(625 : 2^8), \quad \frac{1}{2} \lg 256 — 2 \lg 5 = \lg\left(\frac{256^2}{5^2}\right);
\)
\(
\frac{625}{256} \lg \frac{625}{16 \cdot 5} = \lg_{16} 256 = \log_{4^2} \left(\frac{4}{5}\right)^{-4} = -2;
\)
Ответ: -2.

1) Рассмотрим первое выражение:

\(
3 \lg 4 + \lg 0.5 = \lg(4^3) + \lg(0.5) = \lg(4^3 \cdot 0.5)
\)

Теперь найдем \(4^3\):

\(
4^3 = 64
\)

Таким образом, у нас есть:

\(
\lg(64 \cdot 0.5) = \lg(32)
\)

Теперь рассмотрим знаменатель:

\(
\lg 9 — \lg 18 = \lg\left(\frac{9}{18}\right) = \lg\left(\frac{1}{2}\right)
\)

Теперь подставим это в выражение:

\(
\frac{\lg(32)}{\lg\left(\frac{1}{2}\right)} = \frac{\lg(32)}{-1} = -\lg(32)
\)

Теперь найдем \(32\) в степени двойки:

\(
32 = 2^5
\)

Таким образом,

\(
-\lg(32) = -\lg(2^5) = -5
\)

Ответ: -5.

2) Рассмотрим второе выражение:

\(
\lg 625 — 8 \lg 2 = \lg(625) — \lg(2^8) = \lg\left(\frac{625}{2^8}\right)
\)

Теперь найдем \(2^8\):

\(
2^8 = 256
\)

Таким образом, у нас есть:

\(
\lg\left(\frac{625}{256}\right)
\)

Теперь рассмотрим знаменатель:

\(
\frac{1}{2} \lg 256 — 2 \lg 5 = \lg(256^{1/2}) — \lg(5^2) = \lg\left(\frac{\sqrt{256}}{25}\right)
\)

Так как

\(
\sqrt{256} = 16,
\)

то мы имеем:

\(
\lg\left(\frac{16}{25}\right)
\)

Теперь подставим всё в выражение:

\(
\frac{\lg\left(\frac{625}{256}\right)}{\lg\left(\frac{16}{25}\right)}
\)

Это можно записать как:

\(
= \lg(625) — \lg(256) — (\lg(16) — \lg(25)) = \frac{\lg(625)}{\lg(16)} — \frac{\lg(25)}{\lg(16)}
\)

Теперь найдем значения логарифмов:

Так как

\(
625 = 25^2,
\)
то

\(
\lg 625 = 2 \lg 25.
\)

Следовательно:

\(
= 2 — 1 = 1.
\)

Итак, итоговое значение выражения:

Ответ: -2.