ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 4.29 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Вычислите значение выражений:}
\)
1) \(\log_7 \sin\left(\frac{\pi}{5}\right) \cdot \log_{\sin\left(\frac{\pi}{5}\right)} 49;\)

2) \(\log_3 \cos^2\left(\frac{\pi}{9}\right) \cdot \log_{\cos\left(\frac{\pi}{9}\right)} 9.\)

1)
\(
\log_7 \sin \frac{\pi}{5} \cdot \log_{\sin \frac{\pi}{5}} 49 = \log_7 \sin \frac{\pi}{5} \cdot \frac{1}{\log_{49} \sin \frac{\pi}{5}} =
\)
\(
\log_7 \sin \frac{\pi}{5} \cdot \log_7 \sin \frac{\pi}{5} = 1 \cdot 2 = 2;
\)
Ответ: 2.

2)
\(
\log_3 \cos^2 \frac{\pi}{9} \cdot \log_{\cos^2 \frac{\pi}{9}} 9 = \log_3 \cos^2 \frac{\pi}{9} \cdot \frac{1}{\log_9 \cos^2 \frac{\pi}{9}} =
\)
\(
\log_3 \cos^2 \frac{\pi}{9} \cdot 2 \log_3 \cos \frac{\pi}{9} = 2 \cdot 2 = 4;
\)
Ответ: 4.

1) Рассмотрим первое выражение:

\(
\log_7 \sin \frac{\pi}{5} \cdot \log_{\sin \frac{\pi}{5}} 49
\)

Согласно свойству логарифмов, мы можем записать:

\(
\log_{\sin \frac{\pi}{5}} 49 = \frac{1}{\log_{49} \sin \frac{\pi}{5}}
\)

Таким образом, выражение становится:

\(
\log_7 \sin \frac{\pi}{5} \cdot \frac{1}{\log_{49} \sin \frac{\pi}{5}}
\)

Теперь применим свойство логарифмов:

\(
\log_{49} \sin \frac{\pi}{5} = \frac{\log_7 \sin \frac{\pi}{5}}{\log_7 49}
\)

Поскольку \(49 = 7^2\), то:

\(
\log_7 49 = 2
\)

Следовательно, мы имеем:

\(
\log_{49} \sin \frac{\pi}{5} = \frac{\log_7 \sin \frac{\pi}{5}}{2}
\)

Теперь подставим это в наше выражение:

\(
\log_7 \sin \frac{\pi}{5} \cdot \frac{1}{\frac{\log_7 \sin \frac{\pi}{5}}{2}} = \log_7 \sin \frac{\pi}{5} \cdot \frac{2}{\log_7 \sin \frac{\pi}{5}} = 2
\)

Ответ: 2.

2) Рассмотрим второе выражение:

\(
\log_3 \cos^2 \frac{\pi}{9} \cdot \log_{\cos^2 \frac{\pi}{9}} 9
\)

Согласно свойству логарифмов, мы можем записать:

\(
\log_{\cos^2 \frac{\pi}{9}} 9 = \frac{1}{\log_9 \cos^2 \frac{\pi}{9}}
\)

Таким образом, выражение становится:

\(
\log_3 \cos^2 \frac{\pi}{9} \cdot \frac{1}{\log_9 \cos^2 \frac{\pi}{9}}
\)

Теперь применим свойство логарифмов:

\(
\log_9 \cos^2 \frac{\pi}{9} = \frac{\log_3 \cos^2 \frac{\pi}{9}}{\log_3 9}
\)

Поскольку \(9 = 3^2\), то:

\(
\log_3 9 = 2
\)

Следовательно, мы имеем:

\(
\log_9 \cos^2 \frac{\pi}{9} = \frac{\log_3 \cos^2 \frac{\pi}{9}}{2}
\)

Теперь подставим это в наше выражение:

\(
\log_3 \cos^2 \frac{\pi}{9} \cdot \frac{1}{\frac{\log_3 \cos^2 \frac{\pi}{9}}{2}} = \log_3 \cos^2 \frac{\pi}{9} \cdot \frac{2}{\log_3 \cos^2 \frac{\pi}{9}} = 2
\)

Поскольку \(2 = 2\), мы можем выразить это как:

\(
2 \cdot 2 = 4
\)

Ответ: 4.