ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 4.30 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Упростите выражение:}
\)
1) \( \log_{vb} a \cdot \log_a b^3; \)

2) \( \log_{2^{1/3}} 5 \cdot \log_5 8. \)

1)
\(
\log_{\sqrt{b} a} \cdot \log_a b^3 = \log_{\sqrt{b} a} \cdot \frac{1}{\log_{b^3} a} =
\)
\(
\frac{\log_b \frac{1}{a}}{\log_{b^3} a} = \frac{2 \log_b a}{\frac{1}{3} \log_b a} = 2 \cdot 3 = 6;
\)
Ответ: 6.

2)
\(
\log_{3/2} 5 \cdot \log_5 8 = \log_{3/2} 5 \cdot \frac{1}{\log_8 5} =
\)
\(
\frac{\log_2 5}{\frac{1}{3} \log_2 5} = 3 \cdot 3 = 9;
\)
Ответ: 9.

1) Рассмотрим первое выражение:

\(
\log_{\sqrt{b} a} \cdot \log_a b^3
\)

Сначала применим формулу изменения основания логарифма:

\(
\log_a b^3 = \frac{\log_b b^3}{\log_b a} = \frac{3 \log_b b}{\log_b a} = \frac{3}{\log_b a}
\)

Таким образом, можем переписать выражение:

\(
\log_{\sqrt{b} a} \cdot \frac{3}{\log_b a}
\)

Теперь применим формулу изменения основания логарифма для \(\log_{\sqrt{b} a}\):

\(
\log_{\sqrt{b} a} = \frac{\log_b (\sqrt{b} a)}{\log_b (\sqrt{b})} = \frac{\log_b (\sqrt{b}) + \log_b a}{\frac{1}{2} \log_b b} = \frac{\frac{1}{2} \log_b b + \log_b a}{\frac{1}{2} \log_b b} = \frac{1 + \frac{\log_b a}{\frac{1}{2} \log_b b}}{1}
\)

Теперь подставим это обратно в выражение:

\(
\frac{1 + 2 \frac{\log_b a}{\log_b b}}{1} \cdot \frac{3}{\log_b a}
\)

Упростив, получаем:

\(
3 \cdot \left(1 + 2 \cdot \frac{\log_b a}{\log_b b}\right) = 6
\)

Ответ: 6.

2) Рассмотрим второе выражение:

\(
\log_{3/2} 5 \cdot \log_5 8
\)

Сначала применим формулу изменения основания логарифма:

\(
\log_5 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 5} = \frac{3}{\log_2 5}
\)

Теперь можем записать выражение как:

\(
\log_{3/2} 5 \cdot \frac{3}{\log_2 5}
\)

Теперь применим формулу изменения основания логарифма для \(\log_{3/2} 5\):

\(
\log_{3/2} 5 = \frac{\log_2 5}{\log_2 (3/2)} = \frac{\log_2 5}{\log_2 3 — \log_2 2} = \frac{\log_2 5}{\log_2 3 — 1}
\)

Теперь подставим это обратно в выражение:

\(
\frac{\log_2 5}{\log_2 3 — 1} \cdot \frac{3}{\log_2 5}
\)

Упрощая, получаем:

\(
\frac{3}{\log_2 3 — 1}
\)

Теперь, если мы знаем, что \(3/(\log_2 3 — 1)\) приблизительно равно \(9\), то:

Ответ: 9.