ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 4.31 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Вычислите значение выражения }
\)
\(
5^{\left(\frac{4}{\log_{v3} 5} + \frac{1}{2} \log_5 4\right)} + 36 \log_2 \left(2 \cdot 2^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{4}}.
\)

\(
5^{4 \log_{\sqrt{3}} 5 + \frac{1}{2} \log_5 4} + 36 \log_2 4 \sqrt[3]{2^3 \sqrt{2}} =
\)
\(
= 5^{4 \log_5 \sqrt{3} + \frac{1}{2} \log_5 4} + 36 \log_2 2^{3 + 1} =
\)
\(
= 5^{4 \log_5 \sqrt{3} \cdot 5^{\frac{1}{2} \log_5 4}} + 36 \log_2 2^3 =
\)
\(
= (\sqrt{3})^4 \cdot 4^{\frac{1}{2}} + 36 \cdot \frac{1}{3} =
\)
\(
= 9 \cdot 2 + 12 = 30;
\)

Ответ: 30.

\(
5^{\left(\frac{4}{\log_{\sqrt{3}} 5} + \frac{1}{2} \log_5 4\right)} + 36 \log_2 \left(2 \cdot 2^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{4}}.
\)

Шаг 1: Упрощение первого слагаемого

Для начала упростим первое слагаемое:

\(
5^{\left(\frac{4}{\log_{\sqrt{3}} 5} + \frac{1}{2} \log_5 4\right)}.
\)

Используем свойство логарифмов:

\(
\log_{\sqrt{3}} 5 = \frac{\log_5 5}{\log_5 \sqrt{3}} = \frac{1}{\frac{1}{2} \log_5 3} = \frac{2}{\log_5 3}.
\)

Таким образом:

\(
\frac{4}{\log_{\sqrt{3}} 5} = \frac{4 \cdot \log_5 3}{2} = 2 \log_5 3.
\)

Теперь подставим это в выражение:

\(
= 5^{\left(2 \log_5 3 + \frac{1}{2} \log_5 4\right)}.
\)

Теперь объединим логарифмы:

\(
= 5^{\log_5 (3^2) + \log_5 (4^{1/2})} = 5^{\log_5 (9 \cdot 2)} = 9 \cdot 2 = 18.
\)

Шаг 2: Упрощение второго слагаемого

Теперь упростим второе слагаемое:

\(
36 \log_2 \left(2 \cdot 2^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{4}}.
\)

Сначала упростим выражение внутри логарифма:

\(
2 \cdot 2^{\frac{1}{3}} = 2^{1 + \frac{1}{3}} = 2^{\frac{4}{3}}.
\)

Теперь подставим это в логарифм:

\(
= 36 \log_2 \left(2^{\frac{4}{3}}\right)^{\frac{1}{4}} = 36 \log_2 (2^{\frac{4}{12}}) = 36 \cdot \frac{1}{3} = 12.
\)

Шаг 3: Объединение результатов

Теперь объединим оба результата:

\(
18 + 12 = 30.
\)

Ответ

Таким образом, значение выражения равно:

\(
30.
\)