ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 4.32 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Вычислите значение выражения

\(
6^{\left(\frac{6}{\log_{2} 6} + \frac{1}{3} \log_{6} 27\right)} — 12 \log_{7} \left(7 \cdot 7^{\frac{1}{4}}\right)^{\frac{1}{5}}
\)

\(
6^{6 \log_6 \sqrt{2} + \frac{1}{3} \log_6 27} — 12 \log_7 \sqrt[5]{7^4 \sqrt{7}} =
\)
\(
= 6^{6 \log_6 \sqrt{2} + \frac{1}{3} \log_6 27} — 12 \log_7 \frac{7^{4+1}}{5 \cdot 4} =
\)
\(
= 6^{6 \log_6 \sqrt{2} \cdot 6^{\frac{1}{3} \log_6 27}} — 12 \log_7 7^{4 \cdot \frac{1}{4}} =
\)
\(
= (\sqrt{2})^6 \cdot 27^{\frac{1}{3}} — 12 \cdot \frac{1}{4} =
\)
\(
= 8 \cdot 3 — 3 = 21;
\)

Ответ: 21.

Дано выражение:
\(6^{6 \log_6 \sqrt{2} + \frac{1}{3} \log_6 27} — 12 \log_7 \sqrt[5]{7^4 \sqrt{7}}\)

1. Разделим его на две части:
\(6^{6 \log_6 \sqrt{2} + \frac{1}{3} \log_6 27}\)
и
\(- 12 \log_7 \sqrt[5]{7^4 \sqrt{7}}\).

2. Рассмотрим первую часть:
\(6^{6 \log_6 \sqrt{2} + \frac{1}{3} \log_6 27}\).

Свойство логарифма: \(a^{\log_a b} = b\).
Применим это свойство:
\(6^{6 \log_6 \sqrt{2} + \frac{1}{3} \log_6 27} = 6^{6 \log_6 \sqrt{2}} \cdot 6^{\frac{1}{3} \log_6 27}\).

Рассмотрим каждую степень отдельно:
\(6^{6 \log_6 \sqrt{2}} = (\sqrt{2})^6\), так как \(a^{n \log_a b} = b^n\).
\(6^{\frac{1}{3} \log_6 27} = 27^{\frac{1}{3}}\), так как \(a^{\frac{1}{n} \log_a b} = b^{\frac{1}{n}}\).

Следовательно:
\(6^{6 \log_6 \sqrt{2} + \frac{1}{3} \log_6 27} = (\sqrt{2})^6 \cdot 27^{\frac{1}{3}}\).

3. Рассмотрим вторую часть:
\(- 12 \log_7 \sqrt[5]{7^4 \sqrt{7}}\).

Упростим выражение внутри логарифма:
\(\sqrt[5]{7^4 \sqrt{7}} = 7^{\frac{4+1}{5}}\), так как свойство корня \(\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}\).

Применим свойство логарифма:
\(- 12 \log_7 \sqrt[5]{7^4 \sqrt{7}} = — 12 \log_7 7^{\frac{5}{5}}\).

Используем правило \(\log_a a^b = b\):
\(- 12 \log_7 7^{\frac{5}{5}} = — 12 \cdot \frac{1}{4}\).

4. Соберем обе части вместе:
\(6^{6 \log_6 \sqrt{2} + \frac{1}{3} \log_6 27} — 12 \log_7 \sqrt[5]{7^4 \sqrt{7}} = (\sqrt{2})^6 \cdot 27^{\frac{1}{3}} — 12 \cdot \frac{1}{4}\).

Вычислим значения:
\((\sqrt{2})^6 = 8\), так как \((\sqrt{2})^6 = (2^{\frac{1}{2}})^6 = 2^3 = 8\).
\(27^{\frac{1}{3}} = 3\), так как \(27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3\).
\(- 12 \cdot \frac{1}{4} = — 3\).

Итак:
\(8 \cdot 3 — 3 = 24 — 3 = 21\).

Ответ: \(21\).