ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 4.33 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Упростите выражение:
\(
\frac{1 — (\log_a b)^3}{\left(\log_a b + \log_b a + 1\right) \log_a \frac{a}{b}}.
\)

\(
\frac{1 — \log_a^3 b}{(\log_a b + \log_b a + 1) \log_a \frac{a}{b}} =
\)
\(
\frac{(1 — \log_a b)(1 + \log_a b + \log_a^2 b)}{\log_a b \cdot (\log_a^2 b + 1 + \log_a b) \cdot \log_a \frac{a}{b}} =
\)
\(
\frac{\log_a b \cdot (\log_a a — \log_a b)}{\log_a a — \log_a b} = \log_a b.
\)
Ответ: \(\log_a b\).

Упростим выражение:

\(
\frac{1 — \log_a^3 b}{(\log_a b + \log_b a + 1) \log_a \frac{a}{b}}.
\)

Сначала рассмотрим числитель \(1 — \log_a^3 b\). Это можно разложить по формуле разности кубов:

\(
1 — x^3 = (1 — x)(1 + x + x^2),
\)

где \(x = \log_a b\). Таким образом, числитель можно записать как:

\(
(1 — \log_a b)(1 + \log_a b + \log_a^2 b).
\)

Теперь рассмотрим знаменатель. Мы можем выразить \(\log_a \frac{a}{b}\) с использованием свойств логарифмов:

\(
\log_a \frac{a}{b} = \log_a a — \log_a b = 1 — \log_a b.
\)

Теперь подставим это в знаменатель:

\(
(\log_a b + \log_b a + 1)(1 — \log_a b).
\)

Также воспользуемся свойством логарифмов для \(\log_b a\):

\(
\log_b a = \frac{1}{\log_a b}.
\)

Теперь подставим это обратно в выражение:

\(
\frac{(1 — \log_a b)(1 + \log_a b + \log_a^2 b)}{(\log_a b + \frac{1}{\log_a b} + 1)(1 — \log_a b)}.
\)

Упростим знаменатель:

\(
\log_a b + \frac{1}{\log_a b} + 1 = \frac{(\log_a b)^2 + 1 + \log_a b}{\log_a b} = \frac{\log_a^2 b + \log_a b + 1}{\log_a b}.
\)

Теперь подставим это в выражение:

\(
= \frac{(1 — \log_a b)(1 + \log_a b + \log_a^2 b)}{\left(\frac{\log_a^2 b + \log_a b + 1}{\log_a b}\right)(1 — \log_a b)}.
\)

Сократим \(1 — \log_a b\):

\(
= \frac{(1 + \log_a b + \log_a^2 b) \cdot \log_a b}{\log_a^2 b + \log_a b + 1}.
\)

Теперь, если мы рассмотрим числитель и знаменатель, то они равны:

\(
= \log_a b.
\)

Таким образом, окончательный ответ:

\(\log_a b.\)