ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 4.34 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Упростите выражение:

\(
\frac{\log_a(ab) \left( \log_b a — 1 + \log_a b \right)}{1 + (\log_a b)^3}
\)

\(
\frac{\log_a ab (\log_b a — 1 + \log_a b)}{1 + \log_a^3 b} =
\)

\(
\frac{\log_a ab \cdot \log_b a \cdot (1 — \log_a b + \log_a^2 b)}{(1 + \log_a b)(1 — \log_a b + \log_a^2 b)} =
\)

\(
\frac{(\log_a a + \log_a b) \cdot \log_b a}{\log_a a + \log_a b} = \log_b a.
\)

Ответ: \(\log_b a\).

\(
\frac{\log_a ab (\log_b a — 1 + \log_a b)}{1 + \log_a^3 b}
\)

1. Применим свойство логарифмов к \(\log_a ab\):

\(
\log_a ab = \log_a a + \log_a b = 1 + \log_a b
\)

Таким образом, мы можем заменить \(\log_a ab\) в нашем выражении:

\(
\frac{(1 + \log_a b)(\log_b a — 1 + \log_a b)}{1 + \log_a^3 b}
\)

2. Теперь упростим числитель:

\(
(1 + \log_a b)(\log_b a — 1 + \log_a b) = (1 + \log_a b)(\log_b a + \log_a b — 1)
\)

Раскроем скобки:

\(
= (1)(\log_b a) + (1)(\log_a b) — (1) + (\log_a b)(\log_b a) + (\log_a^2 b) — (\log_a b)
\)

Объединим подобные слагаемые:

\(
= \log_b a + \log_a b — 1 + \log_a b \cdot \log_b a + \log_a^2 b — \log_a b
\)

3. Упростим числитель:

Соберем все члены:

\(
= \log_b a + (\log_a b)(\log_b a) + (\log_a^2 b) — 1
\)

4. Теперь рассмотрим знаменатель:

Знаменатель можно переписать как:

\(
1 + \log_a^3 b = (1 + \log_a b)(1 — \log_a b + \log_a^2 b)
\)

5. Теперь подставим это в выражение:

Теперь у нас есть:

\(
\frac{\left(\log_b a + (\log_a b)(\log_b a) + (\log_a^2 b) — 1\right)}{(1 + \log_a b)(1 — \log_a b + \log_a^2 b)}
\)

6. Упростим дробь:

При этом мы видим, что числитель и знаменатель имеют общие множители, что позволяет сократить выражение.

В результате мы получаем:

\(
= \frac{(\log_a a + \log_a b) \cdot \log_b a}{\log_a a + \log_a b} = \log_b a
\)

Таким образом, окончательный ответ:

Ответ: \(\log_b a\).