ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 4.35 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

\(
\text{Докажите, что } \log_{7 + 4\sqrt{3}} (7 — 4\sqrt{3}) \text{ является целым числом.}
\)

\(
\log_{7 + 4\sqrt{3}}(7 — 4\sqrt{3}) = \log_{7 + 4\sqrt{3}}(7 + 4\sqrt{3})^{-1} = -1;
\)

\(
(7 + 4\sqrt{3})^{-1} = \frac{1}{7 + 4\sqrt{3}} = \frac{7 — 4\sqrt{3}}{49 — 16 \cdot 3} = 7 — 4\sqrt{3};
\)

Что и требовалось доказать.

Для более подробного разбора решения, начнем с первого выражения:

\(
\log_{7 + 4\sqrt{3}}(7 — 4\sqrt{3}) = \log_{7 + 4\sqrt{3}}(7 + 4\sqrt{3})^{-1}
\)

Мы можем переписать логарифм с отрицательной степенью как логарифм обратного числа. Таким образом, мы имеем:

\(
\log_{7 + 4\sqrt{3}}(7 — 4\sqrt{3}) = -1
\)

Теперь перейдем ко второму выражению:

Сначала найдем обратное значение \( (7 + 4\sqrt{3})^{-1} \):

\(
(7 + 4\sqrt{3})^{-1} = \frac{1}{7 + 4\sqrt{3}}
\)

Для упрощения этого выражения, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \( 7 — 4\sqrt{3} \):

\(
(7 + 4\sqrt{3})^{-1} = \frac{1 \cdot (7 — 4\sqrt{3})}{(7 + 4\sqrt{3})(7 — 4\sqrt{3})}
\)

В знаменателе используем формулу разности квадратов:

\(
(7 + 4\sqrt{3})(7 — 4\sqrt{3}) = 7^2 — (4\sqrt{3})^2 = 49 — 16 \cdot 3 = 49 — 48 = 1
\)

Таким образом, мы получаем:

\(
(7 + 4\sqrt{3})^{-1} = \frac{7 — 4\sqrt{3}}{1} = 7 — 4\sqrt{3}
\)

Теперь мы можем подставить это значение обратно в исходное выражение:

\(
\log_{7 + 4\sqrt{3}}(7 — 4\sqrt{3}) = -1
\)

Что и требовалось доказать.