ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 4.36 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

Докажите, что значение выражения

\(
\log_{9 — 4\sqrt{5}} (9 + 4\sqrt{5})
\)

является целым числом.

Доказать, что значение данного выражения является целым числом:

\(
\log_{9 — 4\sqrt{5}}(9 + 4\sqrt{5}) = \log_{9 — 4\sqrt{5}}(9 — 4\sqrt{5})^{-1} = -1;
\)

\(
(9 — 4\sqrt{5})^{-1} = \frac{1}{9 — 4\sqrt{5}} = \frac{9 + 4\sqrt{5}}{81 — 16 \cdot 5} = 9 + 4\sqrt{5};
\)

Что и требовалось доказать.

Рассмотрим логарифм:

\(
\log_{9 — 4\sqrt{5}}(9 + 4\sqrt{5}).
\)

Согласно свойству логарифмов, мы можем записать это выражение в виде:

\(
\log_{9 — 4\sqrt{5}}(9 + 4\sqrt{5}) = \log_{9 — 4\sqrt{5}}((9 — 4\sqrt{5})^{-1}).
\)

Используя свойство логарифмов, получаем:

\(
\log_{9 — 4\sqrt{5}}((9 — 4\sqrt{5})^{-1}) = -1.
\)

Теперь подтвердим, что

\(
(9 — 4\sqrt{5})^{-1} = \frac{1}{9 — 4\sqrt{5}}.
\)

Для упрощения дроби воспользуемся умножением на сопряженное выражение:

\(
(9 — 4\sqrt{5})^{-1} = \frac{1}{9 — 4\sqrt{5}} \cdot \frac{9 + 4\sqrt{5}}{9 + 4\sqrt{5}} = \frac{9 + 4\sqrt{5}}{(9 — 4\sqrt{5})(9 + 4\sqrt{5})}.
\)

В числителе у нас:

\(
9 + 4\sqrt{5}.
\)

В знаменателе мы можем вычислить произведение:

\(
(9 — 4\sqrt{5})(9 + 4\sqrt{5}) = 9^2 — (4\sqrt{5})^2 = 81 — 80 = 1.
\)

Таким образом, мы получаем:

\(
(9 — 4\sqrt{5})^{-1} = 9 + 4\sqrt{5}.
\)

Теперь подставим это обратно в выражение для логарифма:

\(
\log_{9 — 4\sqrt{5}}(9 + 4\sqrt{5}) = \log_{9 — 4\sqrt{5}}((9 — 4\sqrt{5})^{-1}) = -1.
\)

Таким образом, мы доказали, что значение данного выражения является целым числом. Что и требовалось доказать.