ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 4.37 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы

При каких значениях х верно равенство:

1) \( \log_2 (1 — x^2) = \log_2 (1 — x) + \log_2 (1 + x) \)

2) \( \lg \left( \frac{x^2 — 2x + 1}{x^2 + 1} \right) = \lg (x^2 — 2x + 1) — \lg (x^2 + 1) \)

3) \( \log_5 (x^2 — 4x + 4) = 2 \log_5 (2 — x) \)

4) \( \log_5 (x^2 — 4x + 4) = 2 \log_5 |x — 2| \)

1) \(\log_2(1 — x^2) = \log_2(1 — x) + \log_2(1 + x);\)
\(\log_2(1 — x^2) = \log_2((1 — x)(1 + x));\)
\(\log_2(1 — x^2) = \log_2(1 — x^2);\)
\(1 — x > 0, 1 + x > 0;\)
\(x < 1, x > -1;\)
Ответ: \((-1; 1)\).

2) \(\lg \frac{x^2 — 2x + 1}{x^2 + 1} = \lg(x^2 — 2x + 1) — \lg(x^2 + 1);\)
\(\lg \frac{x^2 — 2x + 1}{x^2 + 1} = \lg(x^2 — 2x + 1) — \lg(x^2 + 1);\)
\(x^2 — 2x + 1 > 0, x^2 + 1 > 0;\)
\((x — 1)^2 > 0, x \in \mathbb{R}; x \neq 1;\)
Ответ: \((-\infty; 1) \cup (1; +\infty)\).

3) \(\log_5(x^2 — 4x + 4) = 2\log_5(2 — x);\)
\(\log_5((x — 2)^2) = \log_5((2 — x)^2);\)
\(x^2 — 4x + 4 > 0, 2 — x > 0;\)
\((x — 2)^2 > 0, x < 2;\)
\(x \neq 2;\)
Ответ: \((-\infty; 2)\).

4) \(\log_5(x^2 — 4x + 4) = 2\log_5|x — 2|;\)
\(\log_5((x — 2)^2) = \log_5((x — 2)^2);\)
\(x^2 — 4x + 4 > 0, |x — 2| > 0;\)
\((x — 2)^2 > 0, x \neq 2;\)
Ответ: \((-\infty; 2) \cup (2; +\infty)\).

1) Рассмотрим равенство

\(
\log_2(1 — x^2) = \log_2(1 — x) + \log_2(1 + x).
\)

Согласно свойству логарифмов, можем объединить правую часть:

\(
\log_2(1 — x^2) = \log_2((1 — x)(1 + x)).
\)

Так как \(1 — x^2 = (1 — x)(1 + x)\), то получаем:

\(
\log_2(1 — x^2) = \log_2(1 — x^2).
\)

Теперь определим условия, при которых логарифмы определены. Для этого необходимо, чтобы аргументы логарифмов были положительными:

1. \(1 — x > 0 — x < 1\)
2. \(1 + x > 0 — x > -1\)

Таким образом, мы имеем систему неравенств:

\(
-1 < x < 1.
\)

Ответ: \((-1; 1)\).

2) Рассмотрим равенство

\(
\lg \frac{x^2 — 2x + 1}{x^2 + 1} = \lg(x^2 — 2x + 1) — \lg(x^2 + 1).
\)

Согласно свойству логарифмов, можно записать:

\(
\lg \frac{x^2 — 2x + 1}{x^2 + 1} = \lg \left(\frac{x^2 — 2x + 1}{x^2 + 1}\right).
\)

Теперь для того, чтобы логарифмы были определены, необходимо, чтобы их аргументы были положительными:

1. \(x^2 — 2x + 1 > 0\)
2. \(x^2 + 1 > 0\)

Первое неравенство можно переписать как:

\(
(x — 1)^2 > 0,
\)

что верно для всех \(x \in \mathbb{R}\), кроме \(x = 1\). Второе неравенство всегда истинно, так как \(x^2 + 1 > 0\) для всех \(x\).

Таким образом, ответ будет:

Ответ: \((-\infty; 1) \cup (1; +\infty)\).

3) Рассмотрим равенство

\(
\log_5(x^2 — 4x + 4) = 2\log_5(2 — x).
\)

Согласно свойству логарифмов, можно записать:

\(
\log_5((x — 2)^2) = \log_5((2 — x)^2).
\)

Теперь определим условия, при которых логарифмы определены:

1. \(x^2 — 4x + 4 > 0\)
2. \(2 — x > 0\)

Первое неравенство можно переписать как:

\(
(x — 2)^2 > 0,
\)

что верно для всех \(x \in \mathbb{R}\), кроме \(x = 2\). Второе неравенство дает:

\(
x < 2.
\)

Таким образом, ответ будет:

Ответ: \((-\infty; 2)\).

4) Рассмотрим равенство

\(
\log_5(x^2 — 4x + 4) = 2\log_5|x — 2|.
\)

Согласно свойству логарифмов, можно записать:

\(
\log_5((x — 2)^2) = \log_5((x — 2)^2).
\)

Теперь определим условия, при которых логарифмы определены:

1. \(x^2 — 4x + 4 > 0\)
2. \(|x — 2| > 0\)

Первое неравенство можно переписать как:

\(
(x — 2)^2 > 0,
\)

что верно для всех \(x \in \mathbb{R}\), кроме \(x = 2\). Второе неравенство также дает:

\(
x \neq 2.
\)

Таким образом, ответ будет:

Ответ: \((-\infty; 2) \cup (2; +\infty)\).