Учебник «Алгебра. ФГОС Углубленный уровень. 11 класс» авторов Аркадия Мерзляка, Дмитрия Номировского и Виталия Полякова — это не просто пособие, а настоящий путеводитель в мир углублённой математики. Издание соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) и предназначено для углублённого изучения алгебры и начала математического анализа в 11 классе общеобразовательных организаций .
Основные особенности учебника
Структурированное содержание
Учебник охватывает ключевые темы, такие как функции, их свойства, графики, уравнения, системы уравнений, неравенства, а также основы математического анализа. Каждая тема представлена с теоретическим материалом, примерами и задачами разной сложности.Уровневая дифференциация
Предусмотрены задания различной сложности, что позволяет учащимся с разным уровнем подготовки работать с материалом на своём уровне. Это способствует формированию познавательного интереса и углублённому пониманию предмета.Методические рекомендации
Учебник включает методические указания, которые помогают учителям эффективно организовать учебный процесс, а также предлагают различные подходы к объяснению материала.Дополнительные материалы
В конце каждой главы представлены контрольные вопросы и задания для самоконтроля, что способствует закреплению знаний и подготовке к экзаменам.Современный дизайн
Книга оформлена в современном стиле, с чётким шрифтом и иллюстрациями, что делает процесс обучения более приятным и удобным.
Почему стоит выбрать этот учебник?
Он подходит как для школьников, так и для абитуриентов, готовящихся к профильным экзаменам по математике.
Содержит актуальный и систематизированный материал, соответствующий современным образовательным стандартам.
Обеспечивает постепенное и глубокое освоение темы, начиная от базовых понятий до более сложных концепций.
ГДЗ по Алгебре 11 Класс Номер 4.38 Углубленный Уровень Мерзляк, Номировский — Подробные Ответы
\(
\text{Найдите значения следующих выражений:}
\)
1)
\(
\lg \sin(1^\circ) \cdot \lg \sin(2^\circ) \cdot \lg \sin(3^\circ) \cdots \lg \sin(89^\circ) \cdot \lg \sin(90^\circ);
\)
2)
\(
\lg \tan(10^\circ) \cdot \lg \tan(45^\circ) \cdot \lg \tan(20^\circ) \cdots \lg \tan(75^\circ) \cdot \lg \tan(80^\circ);
\)
3)
\(
\lg (\tan(30^\circ) \cdot \tan(32^\circ) \cdot \tan(34^\circ) \cdots \tan(58^\circ) \cdot \tan(60^\circ));
\)
4)
\(
\lg \tan(1^\circ) + \lg \tan(2^\circ) + \lg \tan(3^\circ) + \cdots + \lg \tan(88^\circ) + \lg \tan(89^\circ).
\)
1) \(\lg(\sin 1^\circ \cdot \sin 2^\circ \cdot \sin 3^\circ \cdot \ldots \cdot \sin 89^\circ \cdot \sin 90^\circ) = \lg(\sin 1^\circ \cdot \ldots \cdot \lg 1) =\)
\(= \lg(\sin 1^\circ \cdot \ldots \cdot 0) = 0;\)
Ответ: \(0\).
2) \(\lg(\tan 10^\circ \cdot \tan 15^\circ \cdot \tan 20^\circ \cdot \ldots \cdot \tan 75^\circ \cdot \tan 80^\circ) = \)
\(= \lg(\tan 10^\circ \cdot \ldots \cdot \tan 45^\circ \cdot \ldots \cdot \tan 80^\circ) = \lg(\tan 10^\circ \cdot \ldots \cdot \lg 1 \cdot \ldots \cdot \)
\(\cdot \tan 80^\circ) = \lg(\tan 10^\circ \cdot \ldots \cdot 0 \cdot \ldots \cdot \tan 80^\circ) = 0;\)
Ответ: \(0\).
3) \(\lg(\tan 30^\circ \cdot \tan 32^\circ \cdot \tan 34^\circ \cdot \ldots \cdot \tan 58^\circ \cdot \tan 60^\circ) = \)
\(= \lg(\tan 30^\circ \cdot \tan 32^\circ \cdot \ldots \cdot \tan(90^\circ — 32^\circ) \cdot \tan(90^\circ — 30^\circ)) = \)
\(= \lg(\tan 30^\circ \cdot \tan 32^\circ \cdot \tan 34^\circ \cdot \ldots \cdot \cot 32^\circ \cdot \cot 30^\circ) = \lg(1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1) =\)
\(= \lg 1 = 0;\)
Ответ: \(0\).
4) \(\lg(\tan 1^\circ + \tan 2^\circ + \tan 3^\circ + \ldots + \tan 88^\circ + \tan 89^\circ) = \)
\(= \lg(\tan 1^\circ \cdot \tan 2^\circ \cdot \tan 3^\circ \cdot \ldots \cdot \tan 88^\circ \cdot \tan 89^\circ) =\)
\( = \lg(\tan 1^\circ \cdot \tan 2^\circ \cdot \tan 3^\circ \cdot \ldots \cdot \tan(90^\circ — 2^\circ) \cdot \tan(90^\circ — 1^\circ)) = \)
\(= \lg(\tan 1^\circ \cdot \tan 2^\circ \cdot \tan 3^\circ \cdot \ldots \cdot \cot 2^\circ \cdot \cot 1^\circ) = \lg(1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1) =\)
\(\lg 1 = 0;\)
Ответ: \(0\).
1) Рассмотрим выражение:
\(
\lg(\sin 1^\circ \cdot \sin 2^\circ \cdot \sin 3^\circ \cdots \sin 89^\circ \cdot \sin 90^\circ).
\)
Здесь мы знаем, что \(\sin 90^\circ = 1\). Следовательно, можно переписать это выражение как:
\(
\lg(\sin 1^\circ \cdot \sin 2^\circ \cdots \sin 89^\circ).
\)
Также известно, что существует симметрия в значениях синусов:
\(
\sin(90^\circ — x) = \cos(x).
\)
Таким образом, для каждой пары \(\sin k^\circ\) и \(\sin(90^\circ — k^\circ)\), их произведение равно:
\(
\sin k^\circ \cdot \sin(90^\circ — k^\circ) = \sin k^\circ \cdot \cos k^\circ = \frac{1}{2} \sin(2k^\circ).
\)
С учетом этого, мы можем сгруппировать все синусы от \(1^\circ\) до \(89^\circ\), и в итоге получим:
\(
\lg(\sin 1^\circ \cdot \sin 2^\circ \cdots \sin 89^\circ) = \lg(0) = 0.
\)
Ответ: \(0\).
2) Теперь рассмотрим выражение:
\(
\lg(\tan 10^\circ \cdot \tan 15^\circ \cdots \tan 75^\circ \cdot \tan 80^\circ).
\)
Здесь также можно использовать симметрию. Мы знаем, что:
\(
\tan(90^\circ — x) = \cot(x).
\)
Следовательно, пары \(\tan k^\circ\) и \(\tan(90^\circ — k^\circ)\) также имеют свойство:
\(
\tan k^\circ \cdot \tan(90^\circ — k^\circ) = 1.
\)
Таким образом, если мы сгруппируем все значения от \(10^\circ\) до \(80^\circ\), мы увидим, что:
\(
\tan 10^\circ \cdot \tan 80^\circ = 1,
\)
\(
\tan 15^\circ \cdot \tan 75^\circ = 1,
\)
и так далее.
Это приводит к тому, что произведение всех тангенсов также равно \(0\):
\(
\lg(0) = 0.
\)
Ответ: \(0\).
3) Теперь проанализируем выражение:
\(
\lg(\tan 30^\circ \cdot \tan 32^\circ \cdots \tan 58^\circ \cdot \tan 60^\circ).
\)
Здесь также присутствует симметрия, и мы можем заметить, что:
\(
\tan(90^\circ — x) = \cot(x).
\)
Таким образом, можно сгруппировать значения:
\(
\tan 30^\circ \cdot \tan 60^\circ = 1,
\)
и
\(
\tan 32^\circ \cdot \tan(90^\circ — 32^\circ) = 1,
\)
и так далее.
В итоге все произведение равно \(1\):
\(
\tan 30^\circ \cdot \tan 32^\circ \cdots = 1.
\)
Следовательно,
\(
\lg(1) = 0.
\)
Ответ: \(0\).
4) Наконец, рассмотрим выражение:
\(
\lg(\tan 1^\circ + \tan 2^\circ + \tan 3^\circ + \ldots + \tan 88^\circ + \tan 89^\circ).
\)
Здесь стоит отметить, что:
\(
\tan(90^\circ — x) = \cot(x).
\)
Таким образом, для каждой пары:
\(
\tan k^\circ + \tan(90^\circ — k^\circ) = \tan k^\circ + \cot k^\circ.
\)
Это выражение также можно упростить. Однако, учитывая, что сумма тангенсов и котангенсов будет равна бесконечности при \(k = 45^\circ\), а также учитывая, что произведение всех тангенсов от \(1^\circ\) до \(89^\circ\) равно \(1\):
Следовательно,
\(
\lg(1) = 0.
\)
Ответ: \(0\).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.